Главная | Обратная связь

ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА

Теорема 1.Еслиf(x) С[a;b], а F(x) – какая-либо ее первообразная на [a;b] (Fʹ(x)=f(x)), то справедливо выражение

.(1)

Док._▼

Рассмотрим разбиение отрезка [a;b] на частичные отрезки.

Также рассмотрим равенство

F(b) –F(a) =(F(x_n) – F(x_n–1)) +(F(x_n–1) – F(x_n–2)) +… + (F(x₂) –F(x₁)) + (F(x₁) –F(x₀)).

Преобразуем каждую разность в соответствии с теоремой Лагранжа

(если F(x) С¹(a;b), то с (a; b):

F(b) –F(a) = Fʹ(с)(b – a)).

Получим

F(b) –F(a)= Fʹ(с_n)(x_n –x_n–1)+ Fʹ(с_n–1)(x_n–1 –x_n–2)+ …+ Fʹ(с₂)(x₂ –x₁) + Fʹ(с₁)(x₁ –x₀) =

= ,

т.е.

,

где с_i (x_i–1;x_i).

Переходя к пределу при , получаем

или

.

^▲

Выражение (1) называется формулой Ньютона-Лейбница.

Пример 1.Вычислить

Решение_▼

.

^▲

4. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Свойства определенного интеграла.

1. .

2. , с = const.

3. .

Док._▼

.

^▲

4. (Свойство аддитивности). Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и a<с <b, то

. (1)

Док._▼ Пусть точка сбудет точкой деления при разбиении [a;b] на частичные отрезки (пусть с= x_m). Тогда интегральная сумма может быть представлена в виде двух сумм:

.(2)

Каждая из сумм в выражении (2) является интегральной для отрезков [a;b], [a;с], [с;b] соответственно.

Переходя к пределу в выражении (2) при , получаем (1).

^▲

Свойство аддитивности справедливо при любом расположении точек a, b, с. Например, если a<b<с, то

.

Отсюда

.

(вытекает из свойств 4 и 3).

5.(Теорема о среднем). Если f(x) С[a;b], то [a;b]:

.

Док._▼ По формуле Ньютона-Лейбница:

,

где Fʹ(x) =f(x).

Применяем к разности F(b) –F(a) теорему Лагранжа:

.

^▲

Свойство 5 при f(x) ≥0 имеет простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некоторомс (a;b), площади прямоугольника с высотой f(с) и основанием b–a.

 

Число

называется средним значением функции на [a;b].

6. Если f(x) сохраняет знак на [a;b], где a<b, то интеграл имеет тот же знак, что и функция.

Док._▼ Пусть f(x) ≥0. По теореме о среднем

,

где с [a;b].

Так как f(x) ≥0 [a;b], то f(с) ≥0.

.

При f(x) ≤0 доказательство аналогично.

^▲

7. Неравенства между непрерывными функциями на [a;b] (a<b) можно интегрировать.

Если f₁(x) ≤f₂(x), x [a;b], то

.

(Дифференцировать неравенства нельзя).

8. (Оценка интеграла). Если

, , то

. (3)

Док._▼

m≤ f(x) ≤ M [a;b]

(свойство 7).

Учитывая, что

, ,

следует выражение (3).

^▲

9. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции:

.

Док._▼ Применяем свойство 7 к известным неравенствам

получаем

.

В соответствии со свойствами модуля

.

^▲

10. Производная от определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом:

.

Док._▼По формуле Ньютона-Лейбница:

.

Следовательно

.

^▲