Универсальная тригонометрическая подстановка
Интегрирование рациональных дробей Общее правило интегрирования рациональных дробей. 1. Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы полинома и правильной дроби. 2. Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей. 3. Проинтегрировать полином и полученную сумму простейших рациональных дробей. Пример 5.Найти интеграл . Решение▼ Неправильную дробь представляем в виде суммы полинома и правильной дроби:
Получаем
. Разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби: . . Получаем систему линейных уравнений: Находим: B = 2, A = 0, M = 4, N = 2. Таким образом и . Производим интегрирование . . Следовательно . ▲ Любая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Универсальная тригонометрическая подстановка Обозначим через R(sinx; cosx) функцию с переменными sinx и cosx, над которыми выполняются рациональные действия (сложение, вычитание, умножение, деление). Нахождение неопределенных интегралов типа осуществляется подстановкой , которая называется универсальной. Действительно ; ; ; . Поэтому , где R1(t) – рациональная функция от t. Другие подстановки: 1. Если функция R(sinx; cosx) – нечетная относительно sinx, т.е. R(–sinx; cosx) = –R(sinx; cosx), то используется подстановка t = cosx. 2. Если функция R(sinx; cosx) – нечетная относительно cosx, т.е. R(sinx; –cosx) = –R(sinx; cosx), то используется подстановка t = sinx. 3. Если функция R(sinx; cosx) – четная относительно sinx и cosx, т.е. R(–sinx; –cosx) = R(sinx; cosx), то используется t = tgx. Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид . Пример 1.Найти интеграл . Решение▼
. ▲ Пример 2.Найти интеграл . Решение▼ Подынтегральная функция – четная относительно sinx и cosx, так как R(–sinx;–cosx)= =R(sinx; cosx). . Учтено, что . ▲ 4.2. Интегралы типа При интегрировании используются следующие приемы: 1. Подстановка sinx =t, если n=2k+1, k Z+. 2. Подстановка cosx =t, если m=2k+1, k Z+. 3. Формулы понижения порядка: , , , если m=2k, n=2k, k Z+. 4. Подстановка tgx =t, если m +n =2k, k Z-. Пример 3.Найти интеграл . Решение▼ . ▲ Пример 4.Найти интеграл . Решение▼m + n = –4.
. ▲ ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|