Здавалка
Главная | Обратная связь

Универсальная тригонометрическая подстановка

Интегрирование рациональных дробей

Общее правило интегрирования рациональных дробей.

1. Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы полинома и правильной дроби.

2. Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей.

3. Проинтегрировать полином и полученную сумму простейших рациональных дробей.

Пример 5.Найти интеграл

.

РешениеНеправильную дробь представляем в виде суммы полинома и правильной дроби:

Получаем

 

.

Разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби:

.

.

Получаем систему линейных уравнений:

Находим: B = 2, A = 0, M = 4, N = 2.

Таким образом

и

.

Производим интегрирование

.

.

Следовательно

.

Любая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях.

 

 

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Универсальная тригонометрическая подстановка

Обозначим через

R(sinx; cosx)

функцию с переменными sinx и cosx, над которыми выполняются рациональные действия (сложение, вычитание, умножение, деление).

Нахождение неопределенных интегралов типа

осуществляется подстановкой

,

которая называется универсальной.

Действительно

;

;

; .

Поэтому

,

где R1(t) – рациональная функция от t.

Другие подстановки:

1. Если функция R(sinx; cosx) – нечетная относительно sinx, т.е.

R(–sinx; cosx) = –R(sinx; cosx),

то используется подстановка

t = cosx.

2. Если функция R(sinx; cosx) – нечетная относительно cosx, т.е.

R(sinx; –cosx) = –R(sinx; cosx),

то используется подстановка

t = sinx.

3. Если функция R(sinx; cosx) – четная относительно sinx и cosx, т.е.

R(–sinx; –cosx) = R(sinx; cosx),

то используется

t = tgx.

Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид

.

Пример 1.Найти интеграл

.

Решение

.

Пример 2.Найти интеграл

.

Решение

Подынтегральная функция – четная относительно sinx и cosx, так как

R(–sinx;–cosx)= =R(sinx; cosx).

.

Учтено, что .

4.2. Интегралы типа

При интегрировании используются следующие приемы:

1. Подстановка sinx =t, если n=2k+1, k Z+.

2. Подстановка cosx =t, если m=2k+1, k Z+.

3. Формулы понижения порядка:

,

,

,

если m=2k, n=2k, k Z+.

4. Подстановка tgx =t, если m +n =2k, k Z-.

Пример 3.Найти интеграл

.

Решение

.

Пример 4.Найти интеграл

.

Решениеm + n = –4.

.





©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.