Главная | Обратная связь

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

 

 

Предположим, что дана последовательность, элементами

которой являются функции

f1 (x),

f2 (x), ,

fn (x), 

от одной и

той же переменной x , определённые в некоторой области X , и

для каждого значения аргумента x ∈ X

эта последовательность

имеет конечный предел. (Причём, каждое значение x ∈ X , для которого функциональная последовательность имеет конечный

предел, принадлежит области сходимости этой последователь-

ности). Таким образом, последовательность определяет в обла-

сти своей сходимости некоторую функцию

f (x) = lim

n→∞

fn (x),

которая называется предельной функцией или пределом функ-

циональной последовательности

{fn (x)}. То есть теперь важно

не одно лишь существование предела при каждом отдельном значении x , но функциональные свойства предельной функции. При этом возникают новые задачи.

Допустим, что элементы последовательности

f1 (x), f2 (x), , fn (x), 

– все непрерывные функции на множе-

стве X ; гарантирует ли это непрерывность предельной функ- ции f (x)? Оказывается, свойство непрерывности иногда пере- носится и на предельную функцию, иногда – нет.

Функциональные свойства предельной функции f (x)

существенно зависят от самого характера приближения

f (x) при различных значениях x .

fn (x) и

 

Степенные ряды

Степенным рядом называется функциональный ряд вида:

∞

n

∑

n=0

an (y − y0)

, где an – действительные числа.

Действительное число

y0 называется центром степенного

ряда. Заменой переменной

∞

x = y − y0

этот степенной ряд преоб-

n

разуется в степенной ряд ∑ an x

n =0

с нулевым центром.

В дальнейшем ограничимся исследованием рядов именно такого вида. Выясним, какой вид имеет «область сходимости»

степенного ряда, то есть множество X тех значений перемен-

∞

n

ной, для которых ряд ∑ an x

n =0

∞

сходится.

n

Если степенной ряд ∑ an x

n =0

сходится при

x = x1 , то он

абсолютно сходится для всех x , удовлетворяющих неравенству

x < x1 , а если степенной ряд расходится при

x = x2 , то он рас-

ходится и для всех x , удовлетворяющих неравенству x > x2 .

∞

n

Если степенной ряд ∑ an x

n =0

сходится при некоторых

x ≠ 0 , а при остальных x расходится, то существует и только одно положительное число r , такое, что степенной ряд при

x < r

сходится, и даже абсолютно, а при

x > r

расходится.

При

x = r

и x = −r

ряд может как сходиться, так и расходиться.

∞

Для каждого степенного ряда ∑an

n =0

xn , если только он не

является всюду расходящимся, область сходимости X пред- ставляет собой интервал (− r; r ). На концах интервала – при

x = −r

и при

x = r

требуется дополнительное исследование ря-

да на сходимость. Полученный интервал называют интервалом

сходимости, а число r (0 < r ≤ +∞)

радиусом сходимости ряда.

Для всюду расходящегося ряда принимают

r = 0 , таким обра-

зом, область сходимости сводится к одной точке

x = 0 .

∞

n

Радиус сходимости r степенного ряда ∑ an x

n =0

может

быть вычислен при помощи признака Д`Аламбера: если суще-

ствует предел при q = ∞ ).

 

lim

n→∞

 

an +1 an

 

= q , то

 

r = 1

q

 

( r = ∞

 

при

 

q = 0 и

 

r = 0

В каждой внутренней точке интервала сходимости сте-

пенной ряд сходится абсолютно.