Главная | Обратная связь

Линейные системы векторов

Бинарные отношения

1. Установить свойства и начертить график бинарного отношения R={(x,y)ÎR²çxy>1Ùx>0}.
2. Задано бинарное отношение R={(x,y)ÎR²çxy=1Ùx=y}. Указать верные и неверные утверждения.

а) Отношение R рефлексивное, так как истинно высказывание: "xÎR (x²=1Ùx=x).

б) Данное бинарное отношение не рефлексивное, так как не для всякого действительного числа его квадрат равен 1.

в) Отношение R симметричное, так как истинно высказывание: "x,yÎR((xy=1Ùx=y)Þ(yx=1Ùy=x)).

г) Данное бинарное отношение не симметричное, так как из равенства xy=1 не следует равенство y=x.

d) Данное бинарное отношение транзитивно, т.к. истинно высказывание: ( " x,y,zÎR ) (( xy = 1 )Ú( x = y )) Ù (( yz = 1)Ú( y = z )) ® (( xz = 1 )Ú( x = z )).

е) Данное бинарное отношение не транзитивно, т.к. из равенства xy = 1 и yz = 1 не следует равенство xz = 1. Например, x = , y = 2 , z = и xz = = .

ж) Данное бинарное отношение является отношением эквивалентности и разбивает множество R на классы { 0 }, { 1 }, {–1 },...,{ 2, }, {–2, – },..., { a, }, {–a, – }, ... , где aÎR , a ¹ 0.

з) Данное бинарное отношение не рефлексивно, не симметрично, не транзитивно. Следовательно, не является отношением эквивалентности.

и) График гиперболы ( xy = 1 ) и точка О( 0,0 ) ( т.к. 0 = 0 ) являются графиком бинарного отношения R

 

 

к) График гиперболы ( xy = 1 ) и прямой y = x ( x = y ) в объединении дают график бинарного отношения R

 

Доказать методом математической индукции:

1. n(n² + 5 ) 6, где nÎN, n ³ 1.
2. 1³ + 2³ + 3³ +¼+ n³ = (1 + 2 + 3 +¼+ n)², где nÎN,n ³ 1.

Комплексные числа

1. Вычислить: (2+3i)(4–5i) + (2–3i)(4+5i).
2. Найти х и у, считая их действительными числами:

(1+2i)x + (3–5i)y = 1–3i

1. При каких условиях произведение двух комплексных чисел является действительным числом?
2. Вычислить, пользуясь формулой Муавра:

.

1. Извлечь все корни:

1) . 2) . 3) . 4) . 5) .

1. Выполнить действия:

.

Системы линейных уравнений

1. Решить систему линейных уравнений методом последовательного исключения переменных:
   1) 2)
   3) 4)
   5) 6) .

Линейные системы векторов

12. Доказать, что при любых a, b и g система векторов , , линейно независима, если =( 1, a, b ), =( 0, 1, g ), =( 0, 0, 1 ).

13. Исследовать, является ли R подпространством векторного пространства C над полем F, если: 1)F = R; 2)F = C; 3)F = Q.

14. Исследовать, является ли линейно зависимой система векторов :
1) =(1, 2, 1), 2) =(1,–2,–1),
=(1, 1,–1), =(–1, 1,–1),
=(–1,–3,–3). =(–1,–3,–3).

1. Исследовать, является ли линейно зависимой система векторов , векторного пространства многочленов от одной переменной степени £ 2 над полем R, если
   =f₁(x)=3+x+2x², =f₂(x)=–2+x–x².
2. Доказать, что в вещественном пространстве квадратных матрицах второго порядка первый из трех векторов , , не выражается линейно через остальные.
3. Исследовать, является ли линейно зависимой система векторов , векторного пространства C над R, если =2+5i, =4+10i.
4. Верно ли, что в вещественном пространстве многочленов степени = 2 вектор f(x) = 1 + 4x – 7x² линейно выражается через векторы f₁(x) = 2 – x + x², и f₂(x) = 1 – 2x + 3x².
5. Подпространство V₀ натянуто на систему векторов , где
   =(1, 2, 1), =(1, 1,–1), =(1, 3, 3). Найти базис и размерность V₀.
6. Решить векторное уравнение:

, где

, , ,

1. Вычислить ранг матрицы