Главная | Обратная связь

Экспериментальное построение гистограммы выборки

Гистограмму выборки строим по следующему алгоритму.

1. Выбираем определенное количество произвольных элементов, например, резисторов, с одним и тем же номинальным сопротивлением. Для надежного результата в выборку включаем до N = 100 штук элементов.

2. Используя приборы (мосты переменного тока) экспериментальным путем определяем значения, например, сопротивлений R_iэксп всех элементов исследуемой выборки.

В результате эксперимента записываем в таблицу 2 всю совокупность значений (в произвольном порядке) резисторов по мере того, как производится измерение: {X₁, X₂, …, X_i, …, X_n}. Например, получено 100 значений:

30,25; 29,45; 36, 51; ….. 40,15; …; 29,54; ….31,35;…..28,54;….37,45.

3. Производим построение вариационного ряда по полученным экспериментальным данным.

Вариационным рядом называется набор {Z₁, Z₂, …, Z_i,…,Z_N} экспериментальных значений сопротивлений резисторов, который получаем с учетом исходного массива данных {X₁, X₂, …, X_i, …, X_n} путем расстановки их в порядке возрастания от X_min до X_max. Таким образом, выполняется условие

X_min = Z₁, … = < Z_i < =… = < Z_n = X_max. (7.2)

Заметим, что наиболее удобно обрабатывать вариационный ряд с помощью пакета EXCEL.

Допустим, что в нашем случае на основании экспериментальных данных получен следующий вариационный ряд (Табл. 2).

Таблица 2

№№	Эксперимент	Вариацион-ный ряд	Расчет интервалов	№ интервала	К-во значений Nm в интервале	Частота fm, %
	Rэксп, Ом	Zi, Ом	K = 1+ 3,2×ln100 = 15,7 ≈ 16 Zmin = 26,34 Ом; Zmax = 40,15 Ом; DRинт = (40,15-26,34)/16 ≈ ≈ 0,86 Ом   Примерные границы интервалов: 1: 26,3 --- 27,2 2: 27,2 ---28,06 … 15: 38,48---39,29 16: 39,29---40,15			1/100 =1
	30,25	26,34			1/100 =1
	29,45	27,32			3/100 = 3
	36, 51	…
…		28,54
…	26,34	29,45
	40,15	…
…		…
…		…
	29,54	30,25
	27,32	…
…		…
	31,35	31,35
...		36, 51
	28,54	…
	37,45	40,15
	Всего, %

 

4.Послепостроения и записи (в лабораторной тетради) вариационного ряда приступаем к подготовке расчетных данных для построения гистограммы выборки, которая, как указано выше, представляет собой график зависимости вероятности f обнаружения в выборке того или иного значения параметра (сопротивления резистора R_i, емкости конденсатора C_i, индуктивности L_i).

Гистограмму выборки (например, сопротивления резисторов) строим следующим образом (табл. 2):

а) диапазон значений от R_min до R_max разбиваем на определенное количество интервалов K, число которых определяем (округляя) с учетом известного числа элементов выборки по оценочной формуле

K = 1 + 3,2×lnN, (7.3)

где lnN – натуральный логарифм числа N (при N = 100 значение K округляют до ближайшего целого числа; K ≈ 16);

б) определяем длину интервала на оси ΔX_инт:

ΔX_инт = (X_max - X_min)/K, (7.4)

где ΔX_инт также округляем для удобства вычислений (DR_инт ≈ 0,86 Ом);

в) точку, соответствующую середине области изменения выборки (центр распределения) Х ≈(X_max + X_min)/2, принимаем за "центр" выборки и центр некоторого интервала, после чего находим границы и окончательное количество (значение K может быть скорректировано) интервалов, так, чтобы они в совокупности перекрывали всю область от X_min до X_max (на оси Х желательно отметить начало и конец каждого интервала);

г) проводим анализ построенного вариационного ряда.

Подсчитываем число N_m экспериментальных значений, например, сопротивлений, попавших в каждый интервал между Х_m и (X_m + ΔX_инт), причем N_m равно числу членов вариационного ряда, для которых справедливо неравенство

X_m =< Z_i = < Х_m + ΔX_инт, (7.5)

где Х_m и (X_m + ΔX_инт) – границы m-интервала.

Отметим, что значения Z_i, попавшие на границу между (m – 1) и m-интервалами, относят к m-интервалу;

д) подсчитываем относительную частоту

f_m = N_m·100/N (%), (7.6)

как относительное количество наблюдений, попавших в m-й интервал.

Например, если при N = 100, в первый (от минимального значения) интервал попало 3 значения, то значение f₁ = 1 / 100 = 0,01 или 1 %.

е) Выбираем оси: ось абсцисс - исследуемый параметр, например, R, (Ом, кОм) - диапазон измеренных значений сопротивлений; ось ординат – частота попадания f _m в тот или иной интервал значений.

Масштаб на осях зависит от полученных расчетных экспериментальных значений, например, максимальное значение f_маx частоты определяет масштаб оси ординат (рис. 7.2).

ж) строим гистограмму, представляющую собой ступенчатую кривую, значение которой на m-интервале равно f_m (рис. 7.2);

з) через ″верхние″ значения "ступеней" проводим плавную линию, которая завершает построение гистограммы.

Рис. 7.2. Гистограмма, построенная по экспериментальным данным

При малых значениях N кривая f_m(X) (рис. 7.2) может значительно отличаться от теоретической зависимости (7.1). Максимальному значению f_max соответствует наиболее вероятное значение Х_вер в данной выборке. При увеличении значения n гистограмма переходит в плавную кривую f(X), которая описывается зависимостью (7.1) кривой Гаусса (рис. 7.1, д).

Границы по оси X, соответствующие значению среднего квадратического отклонения σ, примерно определяем исходя из условия, что в интервал (X_вер - σ…, X_вер + σ) попадает примерно 68 % всех значений.

Например, с учетом гистограммы, приведенной на рис. 7.2, рассчитываем величину σ: σ = (35,1 – 30,5)/2 ≈ 2,3 Ом.

На практике экспериментальное распределение может отличаться от распределения Гаусса в силу различных причин.

Значение допуска D определяем по соотношению

D » 3σ·100/Х_ср, %. (7.7)

Т.е. по экспериментальным данным можно оценить значение
D = 3·2,3·100/33 ≈ 20 %. Следовательно, можно сделать вывод, что исследуемая выборка резисторов описывает ряд E6.