ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
Степенные ряды.
Обобщим понятие числового ряда следующим образом: рассмотрим ряд, в котором элементами являются не числа, а функции. Такой ряд называется функциональным. Определение. Выражение вида называется функциональным рядом. Дадим определение степенного ряда, который является важным частным случаем функционального. Определение. Функциональный ряд вида , где -- числа, не зависящие от , называется степенным рядом. Ряд вида также является степенным и называется рядом по степеням , здесь -- число. При любом фиксированном значении степенной ряд превращается в числовой, который либо сходится, либо расходится. Определение. Множество всех значений переменной , при которых степенной ряд сходится, называется его областью сходимости. Всякий степенной ряд сходится при , соответственно ряд сходится при .
Имеет место терема: Область сходимости степенного ряда – это либо интервал , либо полуинтервал , либо полуинтервал , либо отрезок , либо вся числовая прямая , либо одна точка .
Число называют радиусом сходимости степенного ряда
Для ряда вид области сходимости аналогичен, только все сдвигается на величину .
Число может принимать любые неотрицательные значения. В частности, если , то ряд сходится в одной точке , если степенной ряд сходится на всей числовой прямой. Для нахождения области сходимости степенного ряда обычно используют признак Даламбера. Кроме того, существует формула (Коши-Адамара) для нахождения радиуса сходимости степенного ряда: . При и при ряд расходится, а поведение ряда при подлежит отдельному исследованию. Задача №1.Найти область сходимости степенного ряда . Решение. Применим признак Даламбера: , , тогда . Ряд сходится, если , т.е. . Таким образом, . Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости. Пусть . Подставим это значение в формулу для исходного ряда. Получим положительный ряд . Он расходится как обобщенный гармонический, . Следовательно, значение не принадлежит области сходимости. Пусть . Тогда получаем числовой ряд , который является знакопеременным. Исследуем его на абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда: . Получили положительный обобщенный гармонический ряд, который расходится, поскольку . Следовательно, исследуемый знакопеременный ряд не сходится абсолютно. Дальнейшее исследование на сходимость проведем, используя признак Лейбница. Ряд является знакочередующимся. 1) Модули членов ряда монотонно убывают: . 2) Модуль -го члена ряда стремится к нулю: . Поскольку все условия признака Лейбница выполняются и ряд не сходится абсолютно, то ряд сходится условно. Таким образом, при степенной ряд сходится. Теперь можно записать ответ. Ответ: Область сходимости: .
Степенной ряд вида имеет интервал сходимости, симметричный относительно точки , интервал сходимости имеет вид , поведение ряда при и подлежит, как и в предыдущем случае, дополнительному исследованию. Задача №2.Найти область сходимости степенного ряда . Решение. Для нахождения интервала сходимости используем, как и прежде, признак Даламбера: , , Степенной ряд сходится, если , отсюда имеем: , следовательно, радиус сходимости степенного ряда . , интервал сходимости симметричен относительно точки . Теперь необходимо выяснить, как ведет себя степенной ряд на концах интервала сходимости. Пусть . После подстановки этого значения в степенной ряд получим: . Это сходящийся обобщенный гармонический ряд и значит число принадлежит интервалу сходимости. Пусть . Подставим это значение в исходный ряд вместо : . Получили знакочередующийся числовой ряд, который будем исследовать на абсолютную сходимость, т.е. будем исследовать ряд . Этот положительный ряд сходится как обобщенный гармонический при . Отсюда следует, что знакопеременный ряд сходится абсолютно и значение принадлежит интервалу сходимости. Ответ: . Задача №3.Найти область сходимости ряда . Решение. , . Вычислим предел:
Интервал сходимости находим из неравенства : , т.е. радиус сходимости , . Интервал сходимости имеет вид: . Исследуем поведение ряда на границах интервала сходимости. Подставим значение в исходный ряд: . Ряд расходится. Таким образом, при степенной ряд расходится. При получим: ,
Следовательно, при степенной ряд расходится.
Ответ. Область сходимости: .
Задача №4.Найти область сходимости ряда . Решение. , Мы получили, что независимо от значения , следовательно, при любом степенной ряд сходится, поэтому область сходимости ряда – вся числовая прямая. Ответ: . Задача №5.Найти область сходимости ряда . Решение. ,
Степенной ряд расходится при любом значении . Ответ: . ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|