Условия разложимости функции в степенной ряд.
Согласно теореме 33, сумма степенного ряда по степеням должна быть бесконечно дифференцируемой на некотором интервале . Поэтому разлагаться в степенной ряд в окрестности может только такая функция, которая бесконечно дифференцируема в этой окрестности. Но, как показывает пример 2 (см. 2.7), бесконечная дифференцируемость не достаточна для того, чтобы функция разлагалась в степенной ряд. Теорема 37 (критерий разложимости в степенной ряд).Функция , бесконечно дифференцируемая в окрестности точки , разлагается в степенной ряд в этой окрестности тогда и только тогда, когда остаточный член формулы Тейлора функции во всех точках окрестности стремится к 0 при . Доказательство: заметим, что в формуле Тейлора многочлен есть n-я частная сумма ряда , поэтому [ разлагается в степенной ряд в окрестности : ] , что и требовалось доказать.¨ Таким образом, если имеет в окрестности точки производные всех порядков то для разложения ее в степенной ряд нужно: 1) формально составить формальный ряд Тейлора, равна сумме своего степенного ряда (остаточный член формулы Тейлора можно брать в форме Л. или Коши). Иногда исследование остаточного члена трудно, в этих случаях может быть полезной следующая теорема: Теорема 38 (достаточное условие разложимости в степенной ряда). Если бесконечно дифференцируема в окрестности точки , причем производные всех порядков в этой окрестности ограничены одним и тем же числом: , ( ) то разлагается в степенной ряд в окрестности . Доказательство:достаточно показать, что . Возьмем в форме Лагранжа: , где , Поскольку то . . Но есть общий член сходящегося ряда (пр. Даламбера ), поэтому он стремится к 0: , тогда тем более .¨
2.10 Разложение некоторых элементарных Рассмотрим разложение элементарных функций в степенной ряд в окрестности , т.е. ряд Маклорена: Отметим, что формула Тейлора в окрестности : называется формулой Маклорена. Остаточный член формулы Маклорена имеет вид: а) , ; ; в форме Лагранжа и б) , ; в форме Коши. 1) Логарифмический ряд: . Бесконечно дифференцируема при ( не берем, т.к. при не существует). . … . (методом математической индукции при ) , 1) Составим ряд Маклорена: 2) Найдем области сходимости: . Исследуем на концах: : расходится как отрицательный гармонический ряд. : – сходится, т.к. лейбницевского типа, но не абсолютно. Область сходимости: . 3) Исследуем поведение в этой области. Возьмем в формуле Лагранжа а) при получается простая оценка: , отсюда: . б) При оценка затрудняется, поэтому возьмем теперь в форме Коши: . . 1-й множитель: , т.к. . . Кроме того, , т.к. . Следовательно, . 2-й множитель: т.к. . Следовательно . Т.о. . , т.к. из-за . Т.о. . Следовательно разлагается в ряд Маклорена на промежутке : . Пример: можно вычислить без таблиц. 2) Биноминальный ряд. , . Бесконечно дифференцируема в области определения. Аналогично предыдущему найдем: . : . Пользуясь признаком Даламбера, можно найти интеграл сходимости . Можно доказать, что (доказательство сложное). Следовательно разлагается на интервале : Замечание: если , то имеем обычный бином Ньютона: причем это разложение верно на всем интервале . 3) Ряд экспоненты. . Функция бесконечно дифференцируема на всем множестве , причем и если взять конечный интервал , то в силу , т.е. для . Это означает, что производные всех порядков на ограничены постоянной , поэтому разлагается согласно теореме 38 в ряд Маклорена на этом интервале. В силу произв-ти разлагается на всем интервале .
Можно вычислить число с любой точностью. 4) . Бесконечно дифференцируема: . по теореме 38 синус разлагается на всей числовой оси. . . 5) . Можно поступить как с синусом, но мы воспользуемся известным рядом для синуса. . Согласно теореме о единственности разложения этот ряд и есть ряд Маклорена. 6) Ряд арктангенса: Воспользуемся равенством . можно рассматривать как сумму геометрического ряда, у которого . при , , . Поэтому: . Можно доказать, что равенство верно при , так что . По теореме о единственности разложения этот ряд и степенной ряд Маклорена. Пример: Разложить в окрестности (т.е. по степеням ) Примем , тогда: . При , т.е. , имеем сумму геометрического ряда с : . С другой стороны . Если , т.е. , то имеет сумму биномиального ряда: = . В итоге: при имеют место оба разложения одновременно и Итак, . В силу единственности разложения это и есть ряд Маклорена. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|