Абсолютная и условная сходимость
Определение 1. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд При исследовании рядов на абсолютную сходимость к ряду могут быть применены все признаки сходимости для положительных рядов. Имеют место следующие важные теоремы: 1. абсолютно сходящийся ряд сходится; 2. абсолютно сходящийся ряд обладает переместительным свойством; 3. если ряды и сходятся абсолютно, то ряд, составленный из всевозможных произведений занумерованных в каком угодно порядке, также сходится абсолютно и его сумма равна В примерах 1-4 доказать абсолютную сходимость ряда : Пример 1. . Ряд легко исследовать на сходимость по признаку сравнения с рядом , который сходится: Пример 2. . Для доказательства сходимости ряда применим признак Даламбера: Следовательно, ряд сходится абсолютно. Пример 3. . Так как то Воспользуемся методом выделения главной части: поэтому следовательно, Таким образом, при а ряд сходится, поэтому исходный ряд сходится абсолютно. Пример 4. . Так как то а ряд сходится, что доказано в примере 2 § 1 для более общего случая Итак, данный ряд сходится абсолютно. Определение 2. Ряд называется условно сходящимся, если этот ряд сходится, а ряд расходится. Теорема Римана. Если ряд , сходится условно, то каково бы ни было наперёд заданное число (включая ), можно так переставить члены этого ряда, чтобы преобразованный ряд сходился к числу Для исследования рядов на сходимость существует несколько достаточных признаков. Рассмотрим их. Определение 3. Ряд вида где либо для называется знакочередующимся. Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд сходится, если: а) б) В этом случае для остатка ряда имеем оценку: В примерах 5-7 исследовать на сходимость знакочередующиеся ряды. Пример 5. . Согласно признаку Лейбница требуется доказать, что и Правило Лопиталя приводит к результату: Обозначив докажем, что убывает: если т.е. Следовательно, последовательность монотонно убывает для а исходный ряд сходится по признаку Лейбница. Пример 6. . Так как при то и последовательность монотонно убывает, поэтому данный ряд сходится по признаку Лейбница. Пример 7. Преобразуем общий член ряда: Ряд сходится по признаку Лейбница: последовательность монотонно убывает ( для ); а ряд с положительными членами расходится. Следовательно, исходный ряд также расходится. Отметим, что если данный ряд сравнить со сходящимся рядом то отношение их общих членов стремится к 1 (т.е. при - последовательность членов данного расходящегося ряда эквивалентна последовательности членов сходящегося ряда). Внимание! Делать вывод о сходимости или расходимости ряда по поведению ряда , где при возможно только для рядов с положительными членами!! Убедимся в том, что каждое из трёх условий в признаке Лейбница является существенным. Во-первых, существенность условия вытекает из необходимого признака сходимости рядов. Во-вторых, в признаке Лейбница нельзя отбросить условие знакочередуемости. Для иллюстрации этого рассмотрим ряд: . Абсолютные величины членов ряда не возрастают и стремятся к нулю, но его частичные суммы равны а остальные частичные суммы принимают промежуточные значения (между нулём и единицей), поэтому ряд расходится. То, что не является лишним требование монотонности, демонстрируют уже рассмотренный в примере 7 ряд а также следующий ряд: . Сумма его членов равна: - - удвоенной сумме членов расходящегося гармонического ряда. Следовательно, Здесь налицо нарушение монотонности при переходе от члена к члену (их отношение меньше 1). Пример 8. Исследовать на сходимость ряд В данном ряде за группой отрицательных членов следует группа положительных и т.д. Объединим каждую такую группу членов одного знака в один член, тогда получим ряд: который будем исследовать на сходимость по признаку Лейбница. Так как то члены рассматриваемого ряда при будут стремиться к нулю, монотонно убывая по абсолютной величине. Поэтому ряд сходится, а вместе с ним будет сходиться и исходный ряд (см. замечание к теореме о сочетательном свойстве рядов в § 1). Для общего случая знакопеременных рядов либо для рядов с комплексными членами справедливы признаки Абеля и Дирихле. Признак Абеля. Ряд где сходится, если: а) ряд сходится; б) последовательность монотонна и ограничена. Признак Дирихле. Ряд , где сходится, если: а) частичные суммы ряда в совокупности ограничены, т.е. б) последовательность при монотонно стремится к нулю. Отметим: 1) признак Лейбница является частным случаем признака Дирихле при 2) признак Абеля вытекает из признака Дирихле, ведь из предположений Абеля следует, что существует а тогда - здесь второй ряд сходится по предположению а) признака Абеля, а к первому можно применить признак Дирихле. В примерах 9-12 исследовать ряды на сходимость: Пример 9. . Применим признак Абеля. Ряд сходится по признаку Лейбница, а последовательность монотонно возрастает и ограничена: поэтому данный ряд сходится. Пример 10. . Преобразуем общий член ряда: поэтому . Ряд сходится по признаку Лейбница, а к ряду применим признак Дирихле: при монотонно, а Следовательно, ряд сходится, а значит сходится и исходный ряд. Пример 11. . Используя признак Абеля, покажем, что ряд сходится, а последовательность монотонна и ограничена. Для доказательства сходимости ряда применим признак Дирихле: последовательность монотонно при а частичные суммы ряда в совокупности ограничены: так как а поэтому ряд сходится. Последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху числом Следовательно, исходный ряд сходится. Пример 12. . К данному ряду также применим признак Абеля. Докажем, следуя признаку Дирихле, что ряд сходится, а последовательность монотонна и ограничена. Действительно, частичные суммы ряда ограничены в совокупности: а последовательность монотонно при поэтому ряд сходится. Последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху: Следовательно, исходный ряд сходится по признаку Абеля. В примерах 13-15 исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость. Пример 13. . Преобразуем общий член ряда, используя формулу Тейлора:
Ряд сходится по признаку Лейбница при а обобщённый гармонический ряд сходится при Следовательно, данный ряд сходится при Для исследования ряда на абсолютную сходимость используем оценку: Ряды и по признаку сравнения с рядом сходятся при и расходятся при Поэтому из сходимости ряда при следует сходимость рассматриваемого ряда, а из расходимости ряда при следует расходимость ряда Итак, данный ряд сходится абсолютно при и условно при Пример 14. . Простейшая оценка не даёт информации о поведении ряда Будем использовать признак Абеля. Положим: Ряд сходится условно по признаку Дирихле: а при монотонно стремится к нулю. Последовательность монотонна и ограничена: Следовательно, данный ряд сходится по признаку Абеля. Расходимость ряда следует из неравенства: и расходимости ряда ведь ряд расходится, а ряд сходится по признаку Дирихле: монотонно при а Следовательно, данный ряд сходится условно. Пример 15. Так как при необходимый признак сходимости не выполняется, то ряд расходится. Для исследования на сходимость применим признак Лейбница: 1) из очевидного при неравенства следует монотонное убывание последовательности ; 2) условие вытекает из неравенства по принципу двустороннего ограничения также при . Следовательно, при данный ряд сходится. Для ряда с использованием формулы Тейлора будем иметь: , где , поэтому по признаку Гаусса ряд сходится при и расходится при . Тогда исходный ряд сходится абсолютно при , а при сходится условно.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|