Здавалка
Главная | Обратная связь

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ (МОМЕНТЫ) СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Одномерная плотность вероятности

= .

статистически полностью характеризует случайный процесс x(t) в любом конкретном сечении, например, t1. Аналогично находятся одномерные плотности вероятностей и для других сечений - p1(x2,t2). . . p1(xn,tn).

Более полную характеристику случайного процесса даёт двумерная плотность вероятности, рассматривающая значения реализаций в сечениях t1..и t2 взаимосвязано:

где py(x2,t2½x1,t1) - условная плотность вероятности в сечении t2 относительно сечения t1.

Рассматривая совместно n сечений случайного процесса, можно найти n-мерную или многомерную плотность вероятности .

Многомерная плотность вероятности является наиболее полной характеристикой случайного процесса, причем тем более точной, чем больше число сечений n.

У простейшей разновидности случайных процессов – абсолютно случайного процесса – значенияxв разных сечениях считаются невзаимозависимыми (некоррелированными). Для него n-мерная плотность вероятности полностью определяется безусловными одномерными плотностями вероятностей всех сечений:

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ (МОМЕНТЫ) СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

В основе определения числовых характеристик – моментов случайных величин – также лежит понятие среднего арифметического, причём усреднение проводят по множеству реализаций (по ансамблю).

Если случайная величина xi принимает m1 раз значение x1(1), m2 раз – значение x1(2), . . . mn раз – значение x1(n), то среднее арифметическое при m2 + m2 + …+ mn =M будет

x i ср.ар.= = .

При достаточно большом М можно принять = pk . Тогда

xi ср.ар = .

При непрерывном распределении значений случайной величины переходят от суммы к интегралу:

 

· Для случайного процесса среднее по множеству значение, называемое математическим ожиданием случайной величины x, определяется как начальный момент первого порядка:

.

Характеризует среднее значение соответствующих сечений процесса и меняется для различных сечений, но уже не является случайной величиной.

· Начальный момент второго порядка (или математическое ожидание квадрата случайной величины) .

Называется средним ква-драта и определяет в широком смысле среднюю мощность случайной величины, а

представляет собой среднеквадратичное значение x(t).

· Если рассматривать отклонение случайного процесса от математического ожидания- , то получим центрированный процесс, характеризующийся центральнымимоментами. При этом центральный момент первого порядка равен нулю (среднее значение отклонения математического ожидания от него самого)

· Центральный момент второго порядка

[М( )]=M{[ ]2}

называется дисперсией и определяет среднее квадрата или мощность отклонений x(t) от математического ожидания. А среднее квадратическое отклонение характеризует разброс случайного процесса x(t) вокруг его математического ожидания.

Аналогично находятся моменты более высоких порядков, которые, как и математическое ожидание mx,и дисперсия Dx = sx 2, также являются неслучайными величинами и характеризуют поведение случайного процесса в отдельных сечениях.

· Количественно связь между сечениями t1 и t2 устанавливается смешанным центральным моментом второго порядка (математическим ожиданием произведения центрированных величин):

.

Эта характеристика называется корреляционной функцией и зависит от двух переменных t1 и t2. Если kx(t1,t2) характеризует один и тот же случайный процесс, ее называют функцией автокорреляции. При kx(t1,t2)>0 значения x(t1) и x(t2) коррелированы (взаимосвязаны)

· Функция взаимной корреляции

устанавливает связь между сечениями двух случайных процессов x(t) и (t). При равенстве её нулю для любых значений аргументов случайные процессы некоррелированы.





©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.