Здавалка
Главная | Обратная связь

Теорема 1. (Теорема Дирихле).



Если функция имеет место период и на отрезке непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция монотонна, то ряд Фурье функции сходится при любом , причем в точках непрерывности функции его сумма равна , а в точках разрыва его сумма равна , то есть среднему арифметическому предельных значений слева и справа. При этом ряд Фурье функции сходится равномерно на любом отрезке, который вместе со своими концами принадлежит интервалу непрерывности функции .

Замечание:

Функция, удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле, называется кусочно-монотонной.

Теорема 2.

Если функция имеет период , кроме того, функция и ее производная - непрерывные функции на отрезке или имеют конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке, то ряд Фурье функции сходится при всех значениях , причем в точках непрерывности функции его сумма равна , а в точках разрыва функции сумма равна . При этом ряд Фурье функции сходится равномерно на любом отрезке, который вместе со

       
   
 
 

 


своими концами принадлежит интервалу непрерывности функции .

Замечание:

Функция , удовлетворяющая условиям этой теоремы кроме быть может условия периодичности, называется кусочно-гладкой на отрезке .

 
 

Пример 53.

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом , заданную в уравнением .

 
 

Графиком этой функции в является отрезок, соединяющий точки и .


Полученный ряд Фурье сходится в точках разрыва , , к .

Пример 62.

Разложить периодическую функцию :

в ряд Фурье.

Решение

Данная функция удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье; в промежутке она является нечетной, так как здесь ее график симметричен относительно начала координат.

Поэтому имеем:

;

;

,

то есть

.

Таким образом,

.

Пример 61.

Разложить в ряд по косинусам функцию:

 

;

,

то есть

;

,

то есть

.

Таким образом,

.

 

(так как подинтегральная функция второго интеграла – нечетная)

Следовательно, разложение функции в ряд Фурье имеет вид:

.

Пример 54.

Разложить периодическую функцию :

в ряд Фурье.

Решение

Данная функция удовлетворяет условиям теоремы 2. Имеем:

 

 

       
   
 
 

 

 


 
 

то есть

(к интегралу мы применили метод интегрирования по частям);

 

 

(4”)

и ряд (3) принимает вид:

Ряд

коэффициенты которого определяются по (4) называются рядом Фурье для функцииf(x) периода 2l.

Пример 61.

Разложить периодическую функцию :

в ряд Фурье.

 
 

Данная функция удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье.

Имеем:

 

 


(4)

Если – функция периода , кусочно-гладкая или кусочно-монотонная на отрезке , то она разлагается в ряд Фурье, то есть (3) справедливо.

В точках разрыва функции сумма ряда Фурье равна .

Замечание:

Для четной функции :

(4’)

и ряд (3) принимает вид:

.

Для нечетной функции :

 


то есть

Таким образом, искомое разложение будет:

.

Пример 55.

Разложить периодическую функцию :

в ряд Фурье.

Решение

 
 

Данная функция удовлетворяет условиям теоремы 2. Имеем:

 
 


 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.