Теорема 1. (Теорема Дирихле).
Если функция имеет место период и на отрезке непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция монотонна, то ряд Фурье функции сходится при любом , причем в точках непрерывности функции его сумма равна , а в точках разрыва его сумма равна , то есть среднему арифметическому предельных значений слева и справа. При этом ряд Фурье функции сходится равномерно на любом отрезке, который вместе со своими концами принадлежит интервалу непрерывности функции . Замечание: Функция, удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле, называется кусочно-монотонной. Теорема 2. Если функция имеет период , кроме того, функция и ее производная - непрерывные функции на отрезке или имеют конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке, то ряд Фурье функции сходится при всех значениях , причем в точках непрерывности функции его сумма равна , а в точках разрыва функции сумма равна . При этом ряд Фурье функции сходится равномерно на любом отрезке, который вместе со
своими концами принадлежит интервалу непрерывности функции . Замечание: Функция , удовлетворяющая условиям этой теоремы кроме быть может условия периодичности, называется кусочно-гладкой на отрезке . Пример 53. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом , заданную в уравнением . Графиком этой функции в является отрезок, соединяющий точки и .
Полученный ряд Фурье сходится в точках разрыва , , к . Пример 62. Разложить периодическую функцию : в ряд Фурье. Решение Данная функция удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье; в промежутке она является нечетной, так как здесь ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому имеем: ; ; , то есть . Таким образом, . Пример 61. Разложить в ряд по косинусам функцию:
; , то есть ; , то есть . Таким образом, .
(так как подинтегральная функция второго интеграла – нечетная) Следовательно, разложение функции в ряд Фурье имеет вид: . Пример 54. Разложить периодическую функцию : в ряд Фурье. Решение Данная функция удовлетворяет условиям теоремы 2. Имеем:
то есть
(4”) и ряд (3) принимает вид: Ряд
Пример 61. Разложить периодическую функцию : в ряд Фурье. Данная функция удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье. Имеем:
(4) Если – функция периода , кусочно-гладкая или кусочно-монотонная на отрезке , то она разлагается в ряд Фурье, то есть (3) справедливо. В точках разрыва функции сумма ряда Фурье равна . Замечание: Для четной функции : (4’) и ряд (3) принимает вид: . Для нечетной функции :
то есть Таким образом, искомое разложение будет: . Пример 55. Разложить периодическую функцию : в ряд Фурье. Решение Данная функция удовлетворяет условиям теоремы 2. Имеем:
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|