Визначник добутку матриць
Визначник квадратної матриці позначають (скорочення від латинської назви детермінант), або | |. Наприклад, якщо то . Теорема. Визначник добутку двох квадратних матриць -го порядку дорівнює добуткові їх визначників, тобто , або . (1) Рівність перевіримо для матриць другого порядку.
Приклад. Перевірити рівність (1) для таких матриць Розв’язання.Обчислимо спочатку визначники заданих матриць та добуток їх
; , .
Знайдемо тепер добуток матриць і і теж обчислимо їх визначник
. .
Отже, .
Приклади.Знайти визначники матриць: 1. . 2 . 3. . 4. . 5. . 6. . Для поданих матриць знайти їх добуток та обчислити визначники. Результат перевірити за допомогою теореми. Відповіді. 1. -1. 2. 343. 3. . 4. 1. 5. . 6. . 7. 6,-6,-36. 8. -6, -33, 198.
Обернена матриця. Поняття оберненої матриці розглянемо на прикладі квадратної матриці третього порядку, яке по аналогії можна буде узагальнити для матриць довільного порядку. Нехай . Означення 1. Матриця називається неособливою (невиродженою), якщо її визначник відмінний від нуля, тобто . Якщо ж , то матриця називається особливою (виродженою). Означення 2. Квадратна матриця називається оберненою до матри ці , якщо виконується рівність (1) тобто добуток цих матриць дорівнює одиничній матриці . Теорема. Якщо матриця - неособлива ( ), то ця умова є необхідною і достатньою для існування оберненої матриці . Доведемо необхідність. Нехай матриця має обернену , тобто . За теоремою про визначник добутку двох матриць маємо , бо . (2) Тому рівність (2) можлива тільки тоді, коли і . Достатність.Нехай визначник матриці відмінний від нуля, тобто . Скорочено позначимо . Покажемо, як знайти обернену матрицю. Для кожного з елементів матриці знайдемо відповідні їм алгебраїчні доповнення : , розмістивши їх у вигляді нової матриці відповідно розташуванню елементів в . Отримаємо (3) (див., розв’язаний в 1.5 приклад, де отримано матрицю із алгебраїчних доповнень разом з перевіркою вірності їх значень). Протранспонуємо матрицю , замінивши рядки стовпцями, отримаємо формулу оберненої матриці . (4) За допомогою теорем про розклад та анулювання для визначників третього порядку неважко перевірити, що . Приклад 1. Знайти обернену матрицю до матриці . Розв’язання здійснимо у такій послідовності 1) Обчислимо визначник матриці . Оскільки , то існує обернена матриця. 2)Знаходимо алгебраїчні доповнення елементів матриці ; ; ; ; ; ; ; . 3) Записуємо нову матрицю за формулою (3) . 4) За формулою (4) отримуємо обернену матрицю . 5) перевіримо, що , Приклад 2. Знайти матрицю, обернену до матриці . Розв’язання. 1) . 2) ; ; ; . 3) . 4) . 5) . ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|