Здавалка
Главная | Обратная связь

Центральные (перспективные) проекции



 

При построении центральной проекции (ЦП) используются однородные координаты и эквивалентные векторы.

Декартовы [x y z 1] и однородные [a b c h] координаты расширенного вектора связаны соотношениями х=a/h, y=b/h, z=c/h. Назовем операцию приведением однородного вектора к декартовой форме, в которой h=1. Эквивалентность векторов [hx hy hz h] ~ [x y z 1] означает, что они имеют равные соответствующие декартовы координаты. Задание масштаба h¹0 позволяет без арифметических операций изменить сразу все координаты в 1/h раз.

Возможны два способа работы с однородными векторами:

– Все операции проводятся с векторами в декартовой форме, а полученные однородные векторы сразу переводятся в декартову форму.

– Операции проводятся с однородными векторами по специальным формулам (сложения и вычитания, скалярного и векторного произведения векторов), а перевод в декартову форму выполняется только на последнем этапе вывода изображения на экран дисплея.

Методика получения центральной проекции точки p = [x y z] на фронтальную КП от точечного проектора с координатами S = [sx sy sz].

Через точку p проходит прямой луч, описываемый параметрической функцией: S+(p–S)t " t³0.

Рис.3. Расчет параметров центральной проекции точки p на ОСК на ФКП

В отличие от параллельного проецирования, не все точки пространства имеют центральные проекции, а лишь те, которые вместе с КП лежат по одну сторону от проектора, т.е. удовлетворяют условию z< sz при sz>0 или z>sz при sz<0. Координаты p'=[x' y' 0] проекции точки p на ФКП находим из условия z'=0 пересечения луча с плоскостью xy:

z' = sz + (z – sz)tf = 0 Þ tf = sz/(sz-z) = 1/h (*)

x' = sx + (x – sx)tf = (x – cxz)/h

y' = sy + (y – sy)tf = (y – cyz)/h

cx = sx/sz cy = sy/sz cf = 1/sz h = 1 – cfz

Получаем уравнения в однородных координатах:

hx' = x – cxz

hy' = y – cyz

hz' = 0

h = 1 – cfz

и эквивалентное декартово решение в координатной и векторной формах:

 

 

Цf

Это и есть решение задачи центрального проецирования точки на фронтальную плоскость, получаемое за два этапа:

– расширенный вектор координат точки умножается на матрицу Цf;

– полученный однородный вектор преобразуется в декартову форму.

Между этапами необходимо сделать проверку значения h.

Условие существования центральной проекции tf>0 согласно (*) равносильно h>0. При h£0 центральной проекции точки на ФКП не существует (она является вырожденной или мнимой).

Не трудно заметить сходство механизмов центрального проецирования и образования тени точки на плоскости: в обоих процессах прообраз точки может быть действительным, мнимым (при h<0) или вырожденным (при h=0). Есть и отличие: точка, расположенная относительно проектора за плоскостью проецирования, имеет действительную центральную проекцию, но не имеет действительной тени. Другими словами, плоскость проецирования является прозрачной (часто она вообще виртуальная), т.е. мысленно подразумевается, но в действительности не существует), а плоскость тени реальная и непрозрачная, иначе, выходящие из источника лучи, обтекая объект, не создавали бы на ней освещенность вокруг тени.

При удалении проектора от ФКП в бесконечность центральная проекция объекта вырождается в параллельную. При этом, если:

- проектор удаляется в ортогональном к картинной плоскости направлении, то получим ортогональное фронтальное проецирование;

- проектор удаляется в неортогональном к КП направлении, то получим матрицу косоугольного фронтального проецирования.

Важнейшее свойство центрального проектирования, давшее ему второе название – перспективное схождение проекций параллельных линий. Рассмотрим это интересное явление, благодаря которому плоские изображения выглядят объемно и реалистично.

Центральной проекцией отрезка прямой линии также является отрезок, прямая линия проецируется в прямую линию, но с неравномерной шкалой: движение точки по прямой p(t) с постоянной скоростью V дает неравномерное движение ее проекции p'(t). Предельное положение (точка схода) проекции прямой линии (p0 + Vt) не зависит от расположения точки p0, а определяется только координатами источника S и направляющего вектора V.

Все параллельные прямые, не параллельные плоскости проецирования, имеют на перспективной проекции одну и ту же точку схода. Ее можно получить, проведя из точки S прямую (S + Vt) до пересечения с ФКП. Если эта прямая параллельна проективной плоскости, то точка схода отсутствует.

Из сказанного следуют выводы:

– центральные проекции пучка параллельных прямых сходятся в одну общую точку;

– условие существования точки схода: Vz¹0 – пучок параллельных прямых не должен быть параллелен плоскости проецирования;

– если Vz=0, то точка схода вырождена, т.е. удалена в бесконечность, а проекции параллельных прямых, параллельных картинной плоскости, параллельны.

Аналогично выводятся формулы для центрального проецирования на горизонтальную и профильную КП.

Дополнительно:

1) на горизонтальную:

, cx = sx/sy cz = sz/sy ch = 1/sy

2) на профильную:

, cy = sy/sx cz = sz/sx cp = 1/sx

Можно обойтись и одним фронтальным проецированием, поворачивая объект к проектору нужными гранями. Но если картинная поверхность состоит более чем из одной плоскости, то лучше использовать совместно разные виды перспективных проекций для уменьшения числа геометрических преобразований и времени расчета.

Центральные проекции условно классифицируются по числу точек схода изображения куба или параллелепипеда. Условность классификации ЦП означает, что изображения других объектов могут вообще не иметь ни одной точки схода (например, тетраэдр) или более трех таких точек (октаэдр).

 

Рис.4. Различное число точек схода изображения при центральном проецировании

 

Построение центральной проекции отрезка требует анализа четырех вариантов расположения его концевых точек a и b относительно плоскости проецирования и проектора в зависимости от значений параметров ha и hb.

– при íha >0ýÇíhb >0ý отрезок a'b' есть действительная проекция отрезка ab;

– при íha£0ýÇíhb£0ý проекция отрезка отсутствует в силу мнимости (вырожденности) ЦП обоих его концов;

– в оставшихся двух вариантах проекцией является луч, начинающийся в точке действительной проекции и уходящий в бесконечность в направлении, противоположном точке схода отрезка.

 

Одним из видов центрального проецирования является так называемая "обратная перспектива". Построение изображений объемных тел в этом ракурсе широко применялось в византийской и унаследовавшей ее традиции древнерусской живописи. Ее ярким представителем является знаменитая икона Андрея Рублева "Троица". Визуально обратная перспектива отличается от прямой тем, что в ней из двух одинаковых фигур крупнее выглядит та, которая расположена от наблюдателя дальше, что придает изображению некоторую ирреальность, неестественную потусторонность.

 

Геометрическая модель метода обратной перспективы

Желаемый эффект достигается отделением активного процесса формирования проекции от пассивного процесса ее созерцания. В соответствии с названием метода наблюдатель и проектор S размещаются по противоположные стороны от ФКП, а именно:

– направление на дальнего наблюдателя задается ортом Z0;

– положение проектора S=[0 0 -F] на фокусном расстоянии F от ФКП зададим так, что минимальная аппликата объекта zmin > –F, а объект целиком располагался бы между наблюдателем и проектором.

Таким образом, расчет обратной перспективы точки p=[x y z] выполняется по методике получения центральной проекции:

, x' = Fx/(F + z), y' = Fy/(F + z)

 

 

 

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.