Главная | Обратная связь

Приклади рішення типових задач

Національний технічний університет України

«Київський політехнічний інститут»

Задачі

З курсу «теоретичні основи теплотехніки»

Та методичні вказівки до їх рішення

Затверджено на засіданні

Кафедри ХПСМ ІХФ

Протокол № ___

Від___ _________ 2013 р.

Завідувач кафедри ХПСМ

_____________Є.М.Панов

Зміст

С.

Вступ . . . . . . . . . . . .

1 Закон Фур’є. Диференціальне рівняння теплопровідності. Теплопровідність

плоскої стінки у стаціонарному тепловому режимі . . . .

2 Теплопровідність циліндричної стінки в граничних умовах 1-3 роду.

Розрахунки температур і теплових потоків. Критичний діаметр теплоізоляції

3 Теплопровідність стрижня з постійним поперечним перерізом. Розрахунок

температур і теплових потоків . . . . . . . .

4 Теплопровідність тіл з внутрішніми джерелами теплоти. Розрахунок

температур і теплових потоків пластини і стрижня з джерелами теплоти .

5 Нестаціонарні теплові режими. Розрахунок температур і кількості теплоти

при охолодженні (нагріванні) пластини, необмеженого циліндра та тіл

кінцевих розмірів . . . . . . . . . .

6 Розрахунок температурного поля твердих тіл при вирішенні задач тепло-

провідності методом джерел. Теплопровідність пластини і стрижня у

граничних умовах 1-3 роду при дії миттєвого та безперервно діючого

джерела теплоти. Вирішення задач нестаціонарної теплопровідності

чисельними методами . . . . . . . . .

7 Окремі задачі теплопровідності в твердих тілах при лазерній термообробці.

Розповсюдження теплоти при миттєвій та безперервній дії лазера, при різній

інтенсивності випромінювання у плямі фокусування. Розрахунок температур

при дії джерела теплоти, яке рухається . . . . . .

8 Розрахунок параметрів тепловіддачі при вільній і вимушеній течії рідини

 

9 Розрахунок температур і теплових потоків при випромінюванні в прозорому

 

середовищі. Теплообмін при наявності екранів . . . . .

 

Закон Фур’є. Диференціальне рівняння теплопровідності. Теплопровідність плоскої стінки у стаціонарному тепловому режимі

 

Варіант 1

Задача 1-1.Розрахувати, скільки тепла проходить щодоби через шлакобетонну стіну цеху. Довжина стіни - 20 м, висота - 3,5 м, товщина - 0,5 м. Температура на внутріш-ній поверхні стіни - 15 ⁰С, на зовнішній поверхні - 100 ⁰С. Коефіцієнт теплопровід-ності шлакобетону l_шб = 0,93 Вт/(м×К). Відповідь: 281366 кДж за добу.

 

Задача 1-2. Визначити перепад температур, який існує на поверхнях холодильної камери, якщо потужність холодильної установки дозволяє врівноважувати теплоприток із густиною 16,5 Вт/м². Стіни камери - цегляні, товщиною 0,5 м; зсередини вони вкриті торфоплитами товщиною 10 см та шаром штукатурки товщиною 2 см. Коефіцієнти теплопровідності: цегли - 0,29 Вт/(м×К); торфоплит - 0,064 Вт/(м×К); штукатурки - 0,78 Вт/(м×К). Вплив стиків у стіні не враховувати. Відповідь: DT = 54,5 ⁰С.

 

Задача 1-3. Стінка неекранованої паливної камери парового котла виконана із шару піношамоту товщиною d₁ = 125 мм і шару цегли товщиною d₂ = 0,5 м. Шари щільно прилягають один до іншого. Температура на внутрішній поверхні паливної камери t_с1 = 1100 ⁰С, на зовнішній поверхні – t_с3 = 50 ⁰С. Коефіцієнти теплопровідності: піношамоту: l₁ = 0,28 + 0,00023×t Вт/(м×К); цегли: l₂ = 0,7 Вт/(м×К). Визначити: 1 - теплові втрати через 1 м² стінки паливної камери; 2 - температуру в площині зіткнення шарів. Відповідь:1 - втрати q = 1090 Вт/м²; 2 - температура в місці зіткнення шарів t_c2 = 828 ⁰С.

 

Задача 1-4. Обчислити втрати теплоти через одиницю поверхні цегельної обмуровки парового котла в зоні розміщення водяного економайзера і температури на поверхнях стінки, якщо: 1) товщина стінки d_ст = 250 мм; 2) температура газів t_г1 = 700 ⁰С; 3) температура повітря в котельні t_г2 = 30 ⁰С. Коефіцієнти тепловіддачі: 1) від газів до поверхні стінки a₁ = 23 Вт/(м²×К); 2) від стінки до повітря a₂ = 12 Вт/(м²×К). Коефіцієнт теплопровідності стінки l_ст = 0,7 Вт/(м×К). Відповідь: Втрати теплоти q = 1385 Вт/м²; температури на поверхнях стінки: t_с1 = 640⁰С; t_с2 = 145,5 ⁰С.

Задача 1-5. У камері згоряння парового котла з рідким золовидаленням температура газів повинна підтримуватися на рівні t_г1 = 1300 ⁰С при температурі повітря в котельні t_г2 = 30 ⁰С. Стінки паливні виконані з вогнетривкого матеріалу товщиною d₁ = 250 мм і шару діатомітової цегли. Відомо: 1) коефіцієнт теплопровідності вогнетривкого матеріалу можна визначити за формулою: l₁ = 0,28×(1+0,833×10^-3×t) Вт/(м×К); 2) коефіцієнт теплопровідності діатомітової цегли – за формулою: l₂ = 0,113×(1 + 0,206×10^-3×t) Вт/(м×К); 3) коефіціент тепловіддачі від газів до вогнетривкого матеріалу a₁ = 30 Вт/(м² ×К); 4) коефіцієнт тепловіддачі від зовнішньої поверхні паливної камери до повітря у котельні a₂ = 10 Вт/(м²К). Якою повинна бути товщина діатомітового шару, щоб втрати у зовнішнє середовище не перевищували значення густини теплового потоку q = 750 Вт/м² ? Відповідь:товщина d₂ = 132 мм.

Варіант 2

 

Задача 1-6. Визначити значення коефіцієнта теплопровідності l матеріалу плоскої металевої стінки, якщо відомо, що при проходженні 7,56 кВт через поверхню стінки, площа якої становить 2,5 м², температура на кожному 1 мм товщини стінки знижується на 0,2⁰С. Відповідь:l_ст = 15,12 Вт/(м×К).

 

Задача 1-7. Визначити температури на поверхнях контакту шарів складної багатошарової стінки хімічного апарата, яка складається із листової корозійностійкої сталі (товщина сталевого шару - 8 мм), шару скловати (товщина - 60 мм), дерев’яної обшивки із соснових дошок (товщиною - 20 мм) та шару фарби (товщиною - 1 мм). Температура внутрішньої поверхні сталевої стінки – 180 ⁰С. Загальний тепловий потік, який проходить через стінку, - 695,5 Вт. Площа поверхні апарата – 11,5 м². Коефіцієнти те-плопровідності: l_сталі = 15,12 Вт/(м×К); l_вати = 0,0372 Вт/(м×К); l_сосни = 0,107 Вт/(м×К); l_фарби = 0,29 (Вт/м×К). Відповідь:180⁰С; 82,5⁰С; 71,2⁰С; 71,0⁰С.

 

Задача 1-8. Стіни сушильної камери виконані із шару цегли (товщиною d₁ = 250 мм) та шару будівельної повсті. Температура на зовнішній поверхні цегляного шару t_с1 = 110⁰С, на зовнішній поверхні повстяного шару – t_с3 = 25⁰С. Коефіцієнти теплопровідності: цегли - l_к = 0,7 Вт/(м×К); будівельної повсті - l_бп = 0,0465 Вт/(м×К). Теплові втрати через 1 м² стінки камери не перевищують q = 110 Вт/м². Визначити: 1 – температуру в площині контакту (дотику) шарів; 2 – товщину повстяного шару.

Відповідь: температура t_с2 = 70,7 ⁰С; товщина повстяного шару d₂ = 19 мм.

Задача 1-9. Визначити густину теплового потоку q через 1 м² поверхні нагрівання парового котла и та значення температури на поверхні стінки, якщо відомо, що: 1) температура х газів t_г1 = 1000 ⁰С; 2) температура киплячої води (за стінкою) t_р2 = 200 ⁰С; 3) коефіцієнт тепловіддачі від газів до стінки a₁ = 100 Вт/(м²×К); 4) коефіцієнт тепловіддачі від стінки до киплячої води a₂ = 5000 Вт/(м²×К); 5) коефіцієнт теплопровідності матеріалу стінки (спецсталь) l_ст = 50 Вт/(м×К); 6) товщина стінки d_ст = 12 мм. Відповідь: q = 76500 Вт/м²; температури на поверхнях стінки: t_с1 = 235 ⁰С; t_с2 = 215 ⁰С.

Задача 1-10. У камері згоряння парового котла з рідким шлаковидаленням температура газів повинна підтримуватися на рівні t_р1 = 1300 ⁰С при температурі повітря у котельні t_р2 = 30 ⁰С. Стіни паливної камери виконані з вогнестійкого матеріалу (товщиною d₁ = 250 мм) та шару діатомітової цегли. Відомо, що: 1) коефіцієнт теплопровід-ності вогнестійкого матеріалу визначають за формулою: l₁ = 0,28× (1 + 0,833×10^-3×t) Вт/(м×К); 2) коефіцієнт теплопровідності діатомітової цегли – за формулою: l₂ = 0,113×(1 + 0,206×10^-3×t) (Вт/(м×К); 3) коефіцієнт тепловіддачі від газів до вогнетривко-го матеріалу a₁ = 30 Вт/(м²×К); 4) коефіцієнт тепловіддачі від зовнішньої поверхні паливної камери до повітря в котельні a₂ = 10 Вт/(м²×К). Якою повинна бути товщина діатомітового шару, щоб втрати тепла в оточуюче середовище не перевищували значення густини теплового потоку q = 750 Вт/м² ?

Відповідь: товщина шару d₂ = 132 мм.

 

Теплопровідність циліндричної стінки в граничних умовах 1-3 роду. Розрахунки температур і теплових потоків. Критичний діаметр теплоізоляції

 

Варіант 1

 

Задача 2-1. При визначенні коефіцієнта теплопровідності шлаковати методом циліндра матеріал помістили у зазор між двома тонкостінними металевими циліндрами. Зо-внішній діаметр внутрішнього циліндра - 22,5 мм, внутрішній діаметр зовнішнього циліндра - 50 мм. Довжина приладу - 1,2 м. Струм електронагрівача, розташованого всередині труби малого діаметра, І = 0,45 А при величині напруги U = 127 В. Температура на внутрішній поверхні зовнішнього циліндра - 57,4 ⁰С, на зовнішній поверхні внутрішнього циліндра - 144 ⁰С. Визначити коефіцієнт теплопровідності шлаковати.

Відповідь: l = 0,07 Вт/(м×К).

Задача 2-2. Тепловий потік, що проходить через стінку парового змійовика із корозі-йностійкої сталі (діаметр змійовика - 50х1,75 мм), при зануренні його у воду досягає 581,5 Вт/м². Наскільки буде відрізнятися температура зовнішньої поверхні труби від температури внутрішньої поверхні ? У яку сторону і у скільки раз зміниться різниця цих температур у випадку заміни нержавіючої сталі червоною міддю, за умови підтримки незмінної величини теплового потоку. Для нержавіючої сталі прийняти l_нерж = 15,12 Вт/(м×К); для міді l_міді = 383,8 Вт/(м×К).

Відповідь: t_нерж = 0,45 ⁰С; t_нерж /t_мiдi = 25,4.

Задача 2-3.Сталевий трубопровід (відношення діаметрів d₁/d₂ = 100 мм/110 мм; коефіцієнт теплопровідності l = 50 Вт/(м×К) вкритий двошаровою ізоляцією. Товщина ізоляційних шарів однакова і дорівнює d₂ = d₃ = 50 мм. Температура внутрішньої поверхні труби: t_c1 = 250 ⁰C, зовнішньої поверхні ізоляції: t_c4 = 50 ⁰C. Визначити втрати теплоти через ізоляцію з 1 метра трубопроводу і температуру на межі зіткнення шарів ізоляції. Перший шар ізоляції виконаний із теплоізолюючого матеріалу (коефіцієнт теплопровідності l = 0,06 Вт/(м×К); другий шар - з матеріалу з коефіцієнтом теплопровідності l = 0,12 Вт/(м×К).

Відповідь: теплові втрати від 1 метра трубопроводу q_l = 89,5 Вт/м;

температура на границі зіткнення шарів ізоляції t_c3 = 97 ⁰C.

Задача 2-4. По трубі (відношення діаметрів d₁/d₂ = 32 мм / 28 мм) рухається суха насичена водяна пара. Для зменшення теплових втрат у навколишнє середовище трубу необхідно вкрити ізоляцією. Чи доцільно для цього використовувати азбестовий шнур із коефіцієнтом теплопровідності l = 0,13 Вт/(м×К), якщо коефіцієнт тепловіддачі при теплообміні зовнішньої поверхні ізоляції з навколишнім середовищем дорівнює a = 7 Вт/(м²К) ? Яким повинен бути коефіцієнт теплопровідності ізоляції ?

Задача 2-5.Електричний провід (діаметр d = 1,5 мм) має температуру t_c1 = 70 ⁰C і охо-лоджується потоком повітря, температура якого t_пр = 15 ⁰C. Коефіцієнт тепловіддачі від поверхні ізоляції до потоку повітря дорівнює a₂ = 16 Вт/(м²×К). Визначити температуру стінки t_с1, яку матиме провід, якщо вкрити його каучуковою ізоляцією товщиною d = 2 мм, а силу струму в проводі залишити колишньою. Коефіцієнт теплопровідності каучуку l = 0,15 Вт/(м×К).

 

Варіант 2

 

Задача 2-6. Визначити густину теплового потоку на одному погонному метрі довжини і на одному квадратному метрі внутрішньої поверхні сталевої труби (діаметр 51х 1,5 мм) при різниці температур на поверхнях стінки 0,1 ⁰С. Коефіцієнт тепло-провід-ності сталі прийняти рівним 71,87 Вт/(м×К). У яку сторону зміняться і яких розмірів досягнуть ці величини, якщо замість сталевої труби будуть узяті труби тих же розмі-рів з: 1) червоної міді ( l = 393,1 Вт/(м×К); 2) з нержавіючої сталі (l = 13,025 Вт/(м×К); 3) зі скла ( l = 0,744 Вт/(м×К). Відповідь: сталь: q_l = 756 Вт/м; q_f = 5012,5 Вт/м²; мідь: q_l = 4128,65 Вт/м; q_f = 25818,6 Вт/м²; нерж. сталь: q_l = 136,77 Вт/м; q_f = 909,47 Вт/м²; скло: q_l = 7,792 Вт/м; q_f = 51,87 Вт/м².

Задача 2-7. Порівняти густини теплового потоку на 1 погонному метрі і на 1 квадратному метрі середньої поверхні для сталевих труб різного діаметра за умови, що на внутрішній і зовнішній поверхнях усіх труб буде підтримуватися однакова різниця температур DТ = 0,3 ⁰С. Коефіцієнт теплопровідності матеріалу труб l = 50,24 Вт/(м×К); діаметри труб: 6х2; 10х2; 20х2; 30х2 мм. Відповідь: q_l = 86,3; 186,1; 424,5;662,9 Вт/м; q_f = 6873,3; 7385; 7513; 7536,25 Вт/м² відповідно.

Задача 2-8. Як зміняться теплові втрати з 1 метра трубопроводу, розглянутого в задачі 2-3, якщо шари ізоляції поміняти місцями, тобто шар з великим коефіцієнтом теплопровідності накласти безпосередньо на поверхню труби ? Всі інші умови - без змін. Відповідь: Втрати теплоти збільшаться і складуть q_l = 105,5 Вт/м. Темпера-

тура в місці зіткнення шарів ізоляції t_c3 = 159 ⁰C.

Задача 2-9. Необхідно теплоізолювати корпус хімапарата, зовнішній діаметр якого d_зовн = 350 мм, а температура на поверхні - t_c = 300 ⁰C. Можна вважати, що після накладення ізоляції температура не змінилася. На зовнішній поверхні ізоляції температура не повинна перевищувати величину 30 ⁰С, а теплові втрати з 1 м корпуса теплообмінника не повинні перевищувати 150 Вт/м. Коефіцієнт тепловіддачі при теплообміні зовнішньої поверхні ізоляції з навколишнім середовищем дорівнює a = 7 Вт/(м²× К). Чи доцільний вибір у якості теплоізоляції азботерміту, коефіцієнт теплопровідності якого залежить від температури середовища (l = 0,109 + 0,000145×t) ? Якщо це доцільно, то якої товщини повинний бути шар такої ізоляції для заданих умов ?

 

Задача 2-10. Визначити товщину каучукової ізоляції на електропроводі, розглянутому в задачі 2-5, при якій через провід можна пропустити найбільший струм при незмінній температурі проводу t_c1 = 70 ⁰C. Відповідь: d = 17,75 мм.

 

Теплопровідність стрижня з постійним поперечним перерізом. Розрахунок температур і теплових потоків

 

Варіант 1

Задача 3-1. Температура повітря у резервуарі вимірюється ртутним термометром, який для захисту від механічних ушкоджень поміщений у гільзу із нержавіючої сталі ( l = 23,3 Вт/(м×К), заповнену олією. Покази термометра у момент виміру температури - t₁ = 84 ⁰C. Обчислити помилку виміру температури повітря через відведення теплоти по гільзі, якщо: 1) температура в основі гільзи t₀ = 70 ⁰C; 2) довжина гільзи L = 160 мм; 3) товщина гільзи d = 0,8 мм; 4) коефіцієнт тепловіддачі від повітря до гільзи a = 23,3 Вт/(м²×К). Яку температуру буде показувати термометр?

Відповідь: помилка виміру t_рід - t_l = 0,2 ⁰С; t_l = 99,8 ⁰С.

 

Задача 3-2. Для кращого охолодження зовнішньої поверхні термоелектричного хо-лодильника зовнішня поверхня його бічних стінок виконана ребристою (ребра - ве-ртикальні, алюмінієві). Камера (вид зверху) - квадратна. Ширина бічних стінок ка-мери - b = 800 мм; висота стінок h = 1000 мм; висота ребер h_р = 30 мм; товщина ре-бер d_р = 3 мм. На кожній стінці камери розташовано 40 ребер. Температура в основі ребра t₀ = 30 ⁰C; температура навколишнього середовища (повітря) t_п = 20 ⁰C; коефіцієнт теплопровідності алюмінію l = 202 Вт/(м×К); коефіцієнт тепловіддачі від ребер до повітря a = 7 Вт/(м²×К). Обчислити: 1) температуру на кінці ребра t_l; 2) кількість теплоти, що віддається чотирма оребреними стінками Q_рс; 3) тепловий потік, що віддається чотирма неоребреними стінками Q_с.

Відповідь: 1) t_l = 29,8 ⁰С; 2) Q_рс = 848 Вт; 3) Q_с = 223 Вт.

Задача 3-3. У скільки раз збільшиться тепловий потік з 1 м² поверхні плоскої сталевої стінки, якщо її оребрити прямими ребрами постійної товщини: а) сталевими (l = 45,36 Вт/(м×К); б) латунними (l = 85,48 Вт/(м×К). Температура стінки - 80 ⁰С, температура навколишнього повітря -20 ⁰С. Коефіцієнт тепловіддачі від неоребреної поверхні прийняти рівним коефіцієнтові тепловіддачі від поверхні ребер міжреберних ділянок (a = 29,1 Вт/(м²×К). Розмір стінки: 1х1 м; розміри ребер: висота h = 40 мм; товщина d = 1 мм; крок ребер b = 20 мм.

Відповідь:у 3,4 рази - для сталевих ребер; у 3,9 раз - для латунних.

 

Задача 3-4. Для умов попередньої задачі визначити температуру торців ста.левих і

латунних ребер. Відповідь:сталь - 47,5 ⁰С; латунь - 57,8 ⁰С.

Задача 3-5.

Яку висоту може мати пряме алюмінієве ребро, якщо надлишкова температура торця повинна складати не менш 50 % надлишкової температури основи ребра ? Товщина ребра - 0,5 мм; коефіцієнт теплопровідності алюмінію прийняти рівним l = 203,5 Вт/(м×к). Рух повітря - вільний (a = 5,8 Вт/(м²×К). Відповідь: h £ 123 мм.

Варіант 2

 

Задача 3-6. Температура повітря у резервуарі вимірюється ртутним термометром, який для захисту від механічних ушкоджень поміщений у гільзу із нержавіючої сталі ( l = 23,3 Вт/(м×К), заповнену олією. Покази термометра у момент виміру температури - t₁ = 84 ⁰C. Обчислити помилку виміру температури повітря через відведення теплоти по гільзі, якщо: 1) температура в основі гільзи t₀ = 70 ⁰C; 2) довжина гільзи L = 160 мм; 3) товщина гільзи d = 0,8 мм; 4) коефіцієнт тепловіддачі від повітря до гільзи a = 23,3 Вт/(м²×К). Яку температуру буде показувати термометр? Відповідь: помилка виміру t_рід - t_l = 0,2 ⁰С; t_l = 99,8 ⁰С.

Задача 3-7. Нагрівальний пристрій виконаний у виді вертикальної труби, уздовж якої приварені повздовжні сталеві ребра прямокутного перерізу. Висота труби h = 1200 мм; зовнішній діаметр труби d₂ = 60 мм; висота ребер l = 50 мм; товщина ребер d_р = 3 мм; кількість ребер - n = 20 шт. Температура в основі ребра t₀ = 80 ⁰C; температура навколишнього повітря t_п = 18⁰C; коефіцієнт тепловіддачі від ребер (та поверхні труби) до повітря a = 9,3 Вт/(м²×К). Обчислити кількість теплоти, що віддається ребристою стінкою до повітря. Відповідь: Q_рс = 1358 Вт (1270 Вт - віддається ребрами і 88 Вт - міжреберним простором оребреної труби).

 

Задача 3-8. У скільки раз збільшиться тепловий потік з 1 м² поверхні плоскої сталевої стінки, якщо її оре брити прямими ребрами постійної товщини: а) стальными ( l = 45,36 Вт/(м×К); б) мідними ( l = 383,8 Вт/(м×К). Температура стінки - 80 ⁰С, температура навколишнього повітря - 20 ⁰С. Коефіцієнт тепловіддачі від неоребреної поверхні прийняти рівним коефіцієнтові тепловіддачі від поверхні ребер міжреберних ділянок (a = Вт/(м²×К). Розмір стінки: 1х1 м; розміри ребер: висота h = 40 мм; товщина d = 1 мм; шаг ребер b = 20 мм.

Відповідь: у 3,4 рази - для сталевих ребер; у 4,6 разів - для мідних.

 

Задача 3-9. Для умов попередньої задачі визначити температуру торців сталевих і мідних ребер. Відповідь: сталь - 47,5 ⁰С; мідь - 73,5 ⁰С.

 

Задача 3-10. Яку висоту може мати пряме алюмінієве ребро, якщо надлишкова температура торця повинна складати не менш 50 % надлишкової температури основи ребра ? Товщина ребра - 0,5 мм; коефіцієнт теплопровідності алюмінію прийняти рівним l = 203,5 Вт/(м×К). Рух повітря - вимушений (a = 34,85 Вт/(м²×К).

Відповідь: h = £ 50,3 мм.

 

 

Теплопровідність тіл з внутрішніми джерелами теплоти. Розрахунок температур і теплових потоків пластини і стрижня з джерелами теплоти

Варіант 1

Задача 4-1. По ніхромовому стрижню (діаметр d = 5 мм, довжина l = 420 мм) проті-кає електричний струм. Різниця потенціалів на кінцях стрижня U = 10 В. На поверх-ні стрижня кипить вода; тиск Р_атм = 5×10⁵ Па. Визначити об'ємну продуктивність вну- трішніх джерел теплоти q_v (Вт/м³), густину теплового потоку на поверхні стрижня q (Вт/м²), тепловий потік на одиницю довжини стрижня. Коефіцієнт тепловіддачі від поверхні стрижня до води a = 44400 (Вт/(м²×К). Питомий електричний опір ніхрому r = 1,17 (Ом×мм²/м). Коефіцієнт теплопровідності ніхрому l = 17,5 (Вт/(м×К).

Відповідь: q_v = 4,83×10⁸ (Вт/м³); q = 6,08×10⁵ (Вт/м²); q_l = 9540 (Вт/м);

t_c = 164,7 ⁰С; t₀ = 208,2 ⁰C.

 

Задача 4-2. Довгострокове припустиме навантаження для сталевих шин прямокут-ного перерізу 100х3 мм, установлених на ребро, не повинна перевищувати 300 А. Максимальна температура шини при температурі навколишнього повітря t_п = 25 ⁰С повинна бути не вище t₀ = 70 ⁰C. Обчислити температуру на поверхні шини і визна-чити, яким за величиною має бути коефіцієнт тепловіддачі a з її поверхні, щоб тем-пература шини не перевищувала максимально допустимого значення (t₀ = 70 ⁰C). Коефіцієнт теплопровідності сталі l = 64 (Вт/(м×К). Питомий електричний опір сталі r = 0,13 (Ом×мм²/м). Відповідь: t_S » t₀ = 70 ⁰C; a = 4,3 (Вт/м²К).

 

Задача 4-3. Трубка зі сталі Ст 3 ( l = 50,2 (Вт/(м×К) обігрівається електричним стру-мом (включенням в електричну мережу). Вся теплота, що виділяється у стінці, від-водиться через внутрішню поверхню трубки. Сила струму І = 250 A; внутрішній діа-метр трубки d₁ = 7 мм; зовнішній діаметр трубки d₂ = 10 мм; питомий електричний опір r = 0,15 (Ом×мм²/м). Обчислити об'ємну продуктивність джерел теплоти і пере-пад температур у стінці трубки.

 

 

 

Варіант 2

 

Задача 4-4. Тепловиділяючий елемент ядерного реактора виконаний із суміші кар-біда урану та графіту у вигляді циліндричного стрижня (діаметр d = 12 мм). Об’ємна продуктивність джерел теплоти q_v = 3,88×10⁸ Вт/м³. Джерела можна вважати рівномірно розподіленими по об’єму стрижня. Теплопровідність матеріалу стрижня l = 58 Вт/(м×К). Визначити температуру і густину теплового потоку на поверхні тепловиділяючого елемента, якщо його максимальна температура дорівнює 2000 ⁰С. Відповідь: t_c = 1940 ⁰C; q = 1,16×10⁶ Вт/м² .

 

Задача 4-5. Трубка з нержавіючої сталі обігрівається електричним струмом шляхом безпосереднього включення в електричний ланцюг. Довжина трубки l = 500 мм, її зовнішній і внутрішній діаметри рівні (відповідно) d₂ = 12,4 мм і d₁ = 12 мм. Вся теплота, утворена у стінці трубки, виділяється через її зовнішню поверхню. Питомий електричний опір r = 0,85 Ом×мм²/м; коефіцієнт теплопровідності матеріалу трубки l = 18,6 Вт/(м×К). Тепловий потік, що відводиться від зовнішньої поверхні трубки, Q = 14 квт. Визначити перепад температур у стінці і силу струму.

Відповідь: Dt = t_c1 – t_c2 = 4,0 ⁰C; I = 502 А.

 

Задача 4-6. По електричному нагрівачу, виконаному з константанової стрічки (переріз - 1х6 мм, довжина - 1 м), протікає електричний струм (20 А). Падіння напру-ги на кінцях нагрівача - 200 В. Коефіцієнт тепловіддачі на поверхні нагрівача a = 1000 Вт/(м²×К); температура середовища t_рід = 100 ⁰С; коефіцієнт теплопровідності константану l = 20 Вт/(м×К). Визначити температури поверхні стрічки та її середини (по товщині).

Відповідь: t_c = 433 ⁰C; t₀ = 437 ⁰C.

 

Нестаціонарні теплові режими. Розрахунок температур і кількості теплоти при охолодженні (нагріванні) пластини, необмеженого циліндра та тіл кінцевих розмірів

Варіант 1

Задача 5-1. Сталева болванка (діаметр - 400 мм, довжина - 2 м) рівномірно нагріта до температури 400 ⁰С. Болванку занурюють у масляну ванну з температурою рідини t_р = 30 ⁰С. Визначити температуру на поверхні і на осі болванки через 10 хвилин після занурення у ванну. Коефіцієнт тепловіддачі від поверхні болванки до рідини дорівнює a = 581,5 Вт/(м²×К). Відповідь: t_ст = 152 ⁰С; t₀ = 326 ⁰С.

 

Задача 5-2. Лист товщиною d = 6 мм охолоджується від початкової температури t₁ = 50 ⁰C до кінцевої температури t₂ = 10 ⁰C. При температурі повітря в приміщенні t_п = 5 ⁰C коефіцієнт тепловіддачі від поверхні листа дорівнює a = 8,14 Вт/(м²×К). Знайти час охолодження. Відповідь: t = 0,32 години.

 

Задача 5-3. Кулька льоду, діаметр якої дорівнює 5 см, поміщена у камеру з темпе-ратурой 5 ⁰С. Через який час лід він почне танути, якщо коефіцієнт тепловіддачі від льоду до повітря дорівнює a = 9,3 Вт/(м²×К) ? Для льоду l = 2,25 Вт/(м×К); а = 3,89х 10-3 м²/год. Відповідь: t = 38,5 хвилин.

 

Задача 5-4. Довгий сталевий вал діаметром d = 120 мм, початкова температура якого дорівнює 20 ⁰С, поміщений у піч із температурою всередині t_р = 820 ⁰С. Нагрівання вважається закінченим, якщо температура на осі вала досягає t₀ = 800 ⁰С. Визначити час нагрівання вала і температуру на поверхні вала наприкінці його нагрівання. Для сталі l = 21 Вт/(м×К); а = 6,11×10^-6 м²/с; коефіцієнт a = 140 Вт/(м²×К). Відповідь: t = 51 хв.; t = 804 ⁰С.

Варіант 2

 

Задача 5-5. Сталева болванка діаметром 400 мм, довжиною 2 м рівномірно нагріта до температури 400 ⁰С. Деталь занурюють у масляну ванну з температурою масла t_м = 30 ⁰С. Визначити, скільки часу буде потрібно, щоб температура на осі циліндричної болванки досягла значення 180 ⁰С ? Коефіцієнт тепловіддачі від поверхні бол-ванки до рідини дорівнює a = 581,5 Вт/(м²×К). Відповідь: t = 20 хвилин.

 

Задача 5-6. Лист товщиною d = 5 мм охолоджується від початкової температури t₁ = 150 ⁰C до кінцевої температури t₂ = 50 ⁰C. При температурі повітря в приміщенні t_п =15 ⁰C коефіцієнт тепловіддачі від поверхні листа дорівнює a = 8 Вт/(м²×К). Знайти час охолодження.

 

Задача 5-7. Кулька льоду, діаметр якої дорівнює 10 см, поміщена у камеру з тем-пературой 10 ⁰С. Через який час лід почне танути, якщо коефіцієнт тепловіддачі від льоду до повітря дорівнює a = 9 Вт/(м²×К) ?

 

 

Розрахунок температурного поля твердих тіл при вирішенні задач теплопровідно-сті методом джерел. Теплопровідність пластини і стрижня в граничних умовах 1-3 роду при дії миттєвого та безперервно діючого джерела теплоти. Вирішення задач нестаціонарної теплопровідності чисельними методами

 

Варіант 1

 

Задача 6-1. Температура торцевої поверхні сталевої трубки з відношенням діаметрів d₂/d₁ = 30/20 у результаті нагрівання лазером досягає величини 800 ⁰С. Визначити температуру зміцненого шару на глибині 0,2 мм. Час дії лазера у квазістаціонарному режимі t = 0,2 с. Теплофізичні характеристики сталі: l = 56,7 Вт/(м×К); С = 500 Дж/(кг×К); r = 7800 кг/м³. Початкова температура трубки t_о = 20 ⁰С. Відповідь: t = 748,4 ⁰С.

 

Задача 6-2. Визначити час, необхідний для підтримки температури торця сталевої заготовки (діаметр трубки d_зовн/d_внут = 20 мм/10 мм) протягом часу дії лазерного зміцнення на постійному рівні t_c = 800 ⁰C. Потужність лазера Р = 0,6 кВт. Поглинальна здатність торцевої поверхні А = 0,7. Теплофізичні властивості сталі: а = 4,3× ×10^-6 м²/с; l = 16,5 Вт/(м×К); с = 490 Дж/(кг×К). Початкова температура заготовки =15 ⁰C. Відповідь: t = 0,15 сек.

 

Варіант 2

 

Задача 6-3. Визначити температуру на глибині 0,1 мм довгого стрижня (переріз 7х7 мм) при його нагріванні лазером постійної потужності Р = 1 кВт по закінченні нагрівання. Час нагрівання t = 0,15 сек. Поглинальна здатність торця стрижня А = 0,8. Початкова температура торця t_о = 20 ⁰С. Матеріал стрижня - високолегована сталь. Теплофізичні властивості матеріалу прийняти постійними: а = 6,85×10^-6 м²/с; r = 7800 кг/м³; С = 520 Дж/(кг×к). Відповідь: t = 471,6 ⁰С.

 

Задача 6-4.Необхідно підібрати потужність лазера для нагрівання алюмінієвої заготовки (пруток, d_зовн = 20 мм) великої довжини. При цьому контроль нагрівання здійснюється на торцевій поверхні заготовки при температурі плавлення алюмінію t_пл = 660 ⁰С. Початкова температура заготовки t₀ = 20 ⁰C. Тривалість імпульсного нагрівання t = 0,2 сек. Поглинальна здатність торцевої частини заготовки А = 0,7. Теплофізичні властивості алюмінію: r = 2810 кг/м³; с = 830 Дж/(кг×К); а = 1×10^-5 м²/с. Відповідь: Р = 2,673 кВт.

 

 

8 Окремі задачі теплопровідності в твердих тілах при лазерній термообробці. Розповсюдження теплоти при миттєвій та безперервній дії лазера, при різній інтенсивності випромінювання у плямі фокусування. Розрахунок температур при дії джерела теплоти, яке рухається

 

Варіант 1

Задача 7-1. Визначити потужність лазера, необхідну для забезпечення постійної гус- тини теплового потоку на торці стрижня, для того, щоб досягти на глибині 1 мм тем-ператури 700 ⁰С у кінці нагрівання. Час дії джерела лазерного випромінювання t = 0,2 сек. Матеріал стрижня - високолегована сталь. Теплофізичні властивості матеріалу - постійні: а = 6,85×10^-6 м²/с; r = 7,8×10³ кг/м³; С = 520 Дж/(кг×К). Поглинальна здатність матеріалу на торці стрижня А = 0,8. Початкова температура стрижня

t₀ = 20 ⁰C. Діаметр стрижня d_зовн = 10 мм. Відповідь: Р = 1,6 кВт.

 

Задача 7-2. Визначити густину теплового потоку, що передається довгому стрижню (переріз - 5х 10 мм) протягом часу лазерного зміцнення торцевої частини у квазістаціонарному режимі обробки, при якому температура торцевої частини підтримується на рівні t_c = 700 ⁰C. Початкова температура стрижня t₀ = 20 ⁰C. Обробка лазером здійснюється протягом часу t = 0,2 сек. Визначити також потужність лазера. Теплофізичні властивості сталі: а = 4,3×10^-6 м²/с; r = 7,8×10³ кг/м³; l = 16,5 Вт/(м×К). Поглинальна здатність матеріалу на торці стрижня А = 0,6.

Відповідь: q = 5,955 10⁶ Вт/м²; Р = 568,8 Вт.

 

Варіант 2

 

Задача 7-3. У результаті лазерної обробки чавунної заготовки (Æ 15 мм) температура металу на глибині 1 мм досягла 300 ⁰С. Тривалість випромінювання - 0,2 сек. Початкова температура заготовки - 20 ⁰С. Довжина заготовки - набагато більша за її діаметр. Визначити максимально припустиму температуру, яку необхідно підтримувати на торцевій поверхні протягом часу обробки деталі. Теплофізичні властиво-сті чавуну: r = 7,5×10³ кг/м³; С = 540 Дж/(кг×К); l = 32 Вт/(м×К).

Відповідь: t_max = 322,6 ⁰С.

Задача 7-4. Визначити густину теплового потоку на глибині 0,5 мм довгого стрижня з нікелю при його нагріванні концентрованим лазерним джерелом постійної поужності Р = 1 кВт наприкінці нагрівання. Час нагрівання t = 0,2 сек; переріз стрижня - 5х5 мм. Теплофізичні властивості нікелю: r = 8,91×10³ кг/м³; l = 80,2 Вт/(м×К); С = 340 Дж/(кг×К). Поглинальна здатність матеріалу на торці стрижня А = 0,8.

Відповідь: q = 2,81×107 Вт/м2 .

 

Розрахунок параметрів тепловіддачі при вільній і вимушеній течії рідини

 

Варіант 1

Задача 8-1. Вертикальна стінка (висота - 3,5 м) охолоджується вільним потоком повітря. Температура поверхні стінки t_ст = 50 0С, температура повітря на відстані від стінки t_п = 10 ⁰С. Визначити значення конвективного коефіцієнта тепловіддачі a від поверхні стінки до повітря (без врахування променистої складової теплообміну). Відповідь: a = 5,47 Вт/(м²×К).

 

Задача 8-2. У приміщенні, площа якого 85 м² (10 х 8,5 м), необхідно підтримувати середню температуру повітря 20 ⁰С. Повітря в приміщенні знаходиться у спокійному стані. Яку потужність повинен мати електронагрівач, якщо температура поверхні підлоги t_п = 12 ⁰С, а температура поверхні стелі - t_ст = 17 ⁰С. Втрати тепла - тільки через підлогу та стелю. Тепловим випромінюванням можна знехтувати. (Вказівка до рішення: врахувати, що при тепловіддачі від стінки, зверненою „гарячою” поверхнею вниз, коефіцієнт тепловіддачі збільшується в 1,3 рази; „холодною” поверхнею нагору - зменшується в 0,7 раз). Відповідь: W= 2,3 кВт.

 

Задача 8-3. По трубі ( внутрішній діаметр d = 20 мм) рухається вода зі швидкістю w = 0,1 м/с. Середня температура стінки труби t_ст = 20 ⁰С, середня температура води t_в = 60 ⁰С. Визначити коефіцієнт тепловіддачі a від води до поверхні труби (без врахування променистої складової). Відповідь: a = 535 Вт/(м²×К).

 

Задача 8-4. Тонку пластину довжиною l₀ обтікає поздовжній потік рідини. Температура потоку t₀ = 20 ⁰С. Обчислити значення середнього коефіцієнта тепловіддачі a на довжині 1метр пластини (q) для повітря, якщо температура поверхні пластини дорівнює t_ст = 50 ⁰С. Відповідь: a = 35,7 Вт/(м²×К).

 

Задача 8-5. По горизонтальному сталевому трубопроводу (діаметри d₁/d₂ = 50/57) рухається вода зі швидкістю w = 0,15 м/с. Середня температура води t_р1 = 100 ⁰С. Трубопровід ізольований азбестом, причому діаметр ізоляційного шару ззовні трубо-проводу дорівнює d₃ = 178 мм. Визначити втрати теплоти на довжині 1 метр трубопровода (q_l, Вт/м), якщо температура повітря, що оточує трубопровід, дорівнює: t_п = 20 ⁰С. Визначити також температуру поверхонь труби t_ст1, t_ст2 і температуру ізоляції ззовні трубопровода t_ст3. Відповідь: q_l = 51,5 Вт/м; t_ст3 = 46,8 ⁰С.

 

Варіант 2

 

Задача 8-6. Вертикальна стінка висотою 3,5 м охолоджується вільним потоком повітря. Середня температура поверхні стінки t_ст = 90 ⁰С, температура повітря t_п = 10 ⁰С. Визначити коефіцієнт тепловіддачі a від поверхні стінки до повітря. Відповідь: a = 6,63 Вт/(м²×К).

 

Задача 8-7. У приміщенні, площа якого 85 м² (10х8,5 м), необхідно підтримувати середню температуру повітря 20 ⁰С. Повітря у приміщенні знаходиться в спокійному стані. Якої потужності електронагрівач необхідно використати для вирішення задачі, якщо температура поверхні підлоги t_п = 12 ⁰С, а температура поверхні стелі – t_с = 17 ⁰С. Втрати тепла - тільки через підлогу та стелю. Тепловим випромінюванням знехтувати. (Вказівка до рішення: врахувати, що при тепловіддачі від стінки, зверненої гарячою поверхнею вниз, коефіцієнт тепловіддачі збільшується в 1,3 рази; холодною поверхнею вгору - зменшується в 0,7 раз). Відповідь: W= 2,3 кВт.

 

Задача 8-8. По трубі діаметром d = 5 мм рухається вода зі швидкістю w = 0,1 м/с. Середня температура стінки труби t_ст = 20 ⁰С, середня температура води t_в = 60 ⁰С. Визначити коефіцієнт тепловіддачі a від води до поверхні труби (без врахування променистої складової). Відповідь: a = 937,4 Вт/(м²×К).

 

Задача 8-9. Тонку пластину довжиною l₀ обтікає поздовжній потік рідини. Температура потоку t₀ = 20 ⁰С. Обчислити значення коефіцієнта тепловіддачі та теплового потоку на довжині 1 метр пластини (q_l) для води, якщо температура поверхні пластини дорівнює t_ст = 50 ⁰С. Відповідь: a = 3050 Вт/(м²×К). q_l = 2,3×10⁴ Вт/м.

Задача 8-10. По горизонтальному сталевому трубопроводу (діаметри d₁/d₂ = 50/57) рухається вода зі швидкістю w = 0,15 м/с. Середня температура води t_в1 = 100 ⁰С. Трубопровід ізольований азбестом, причому діаметр ізоляційного шару ззовні трубопроводу дорівнює d₃ = 178 мм. Визначити втрати теплоти на довжині 1 метр трубопровода (q_l, Вт/м), якщо температура повітря, що оточує трубопровід, дорівнює t_п = 20 ⁰С. Визначити також температуру поверхонь труби t_ст1, t_ст2 і температуру ізоляції ззовні трубопроводу t_ст3. Відповідь: q_l = 51,5 Вт/м; t_ст3 = 46,8 ⁰С.

 

 

 

Розрахунок температур і теплових потоків при випромінюванні в прозорому середовищі. Теплообмін при наявності екранів

 

Варіант 1

 

Задача 9-1. Ізольований трубопровід (d = 100 мм, L = 8 м) прокладений у приміще-нні, температура стін якого дорівнює 27 ⁰С. Знайти втрати холоду за рахунок випро-мінювання, якщо температура на поверхні трубопроводу дорівнює 7 ⁰С. Відповідь: Q = 263 Вт.

 

Задача 9-2. Цегельна стіна випромінює тепло на розташовану паралельно цегельну стінку. У скільки раз зменшиться тепловий потік, якщо між стінами встановити екран із прокатної латуні ? (ступені чорноти e_цегли = 0,93; e_латуні = 0,06). Відповідь: у 29 раз.

 

Задача 9-3. Скільки тепла втрачається за одну годину одним квадратним метром вертикальної поверхні обмуровки котла, якщо температура стінки t_ст = 100 ⁰С, температура повітря t_п = 100 ⁰С, висота стінки Н = 3 м. Відповідь: Q = 2558,6 Вт.

 

Задача 9-4. У каналі, по якому рухається гарячий газ, температура газу вимірюється за допомогою встановленій усередині каналу термопари. У стаціонарному режимі покази термопари t₁ = 300 ⁰C. Температура стінок каналу t₂ = 250 ⁰C. Обчислити помилку у вимірі температури газу, що виникає за рахунок променистого теплообміну між спаєм термопари і стінкою канала. Обчислити також істинну температуру газу. Ступінь чорноти термопари e= 0,8; коефіцієнт тепловіддачі від газу до поверхні спаю термопари a = 58 Вт/(м²×К).

Відповідь: помилка вимірів t = 23,5 ⁰С; t_газу = 323,5 ⁰С.

 

Задача 9-5. Стіни паливної камери парового котла вкриті одним рядом екранних труб, зовнішній діаметр яких дорівнює d = 100 мм, із шагом s = 240 мм. Розміри поверхні стін і довжина екранних труб досить великі, тому відстань між стінкою і трубами майже не впливає на теплообмін випромінюванням. Обчислити: 1) середні кутові коефіцієнти j_1,2 и j_2,1 ; 2) взаємні поверхні променистого теплообміну для цієї системи фізичних тіл. Відповідь: j_1,2 = 0,566; j_2,1 = 0,432; Н_1,2 = Н_2,1 = 0,1358 м²/м.

 

Варіант 2

 

Задача 9-6. Скільки тепла виділяється випромінюванням з одного квадратного метра стінки до іншої, аналогічної стінки, якщо температури цих стінок дорівнюють, відповідно: t₁ = 200 ⁰C; t₂ = 20 ⁰C. Перша стінка - з червоної цегли (e = 0,93), друга - вкрита гладким окисленим залізом (e = 0,79). Відповідь: q = 1802,65 Вт.

 

Задача 9-7. Дах холодильника оцинковано залізом (e = 0,276). Визначити густину по-току променистого тепла, що сприймається одним квадратним метром даху в літній день, якщо температура поверхні даху дорівнює 37 ⁰С. Зворотне випромінювання від даху спрямоване в космос (з умовною температурою простору t_п = - 53 ⁰С).

Відповідь: q = 736,2 Вт/м² .

 

Задача 9-8. Парова магістраль із зовнішнім діаметром трубопроводу d = 150 мм, довжина якого - 15 м, прокладена в приміщенні, середня температура повітря у якому дорівнює t_п = 25 ⁰С. Визначити теплові втрати від магістралі, якщо відомо, що поверхня ізоляційного шару трубопроводу пофарбована, а температура цієї поверхні дорівнює t_ст = 35 ⁰С. Відповідь: Q = 710,6 Вт.

 

Задача 9-9. У каналі рухається газ. Температура газу вимірюється за допомогою вста-новленої всередині каналу термопари. При стаціонарному режимі покази термопари - t₁ = 300 ⁰C. Температура стінок каналу t₂ = 250 ⁰C. Якою є помилка при вимірі темпе-ратури газу, що виникає за рахунок променистого теплообміну між спаєм термопари і стінкою канала. Обчислити також істинну температуру газу. Ступінь чорноти спаю термопари e = 0,8; коефіцієнт тепловіддачі від газу до поверхні спаю a = 58 Вт/(м²×К). Відповідь: помилка вимірів t = 23,5 ⁰С; t_газу = 323,5 ⁰С.

 

Задача 9-10. Стіни паливної камери парового котла покриті одним рядом екранних труб, зовнішній діаметр яких дорівнює d = 100 мм із кроком s = 360 мм. Розміри поверхні стін і довжина екранних труб досить великі, тому відстань між стінкою і трубами не впливає (істотно) на теплообмін випромінюванням.

Обчислити: 1) середні кутові коефіцієнти j_1,2 и j_2,1; 2) взаємні поверхні променистого теплообміну для даної системи фізичних тіл.

Відповідь: j_1,2 = 0,401; j_2,1 = 0,460; Н_1,2 = Н_2,1 = 0,1445 м²/м.

 

 

Приклади рішення типових задач

Тема 1

Задача 1.1. Необхідно визначити середню теплопровідність матеріалу плоскої стінки,

якщо відомі наступні умови: 1) густина теплового потоку, який прохо-

дить через стінку, q = 100 Вт/м² ; 2) товщина стінки d = 60 см; 3) різниця

температур між поверхнями стінки Dt = 30 ⁰C.

Рішення

1. Необхідно застосувати формулу для визначення теплового потоку, який проходить

через плоску стінку у стаціонарному тепловому режимі:

q = (l/d)×Dt, [Вт/м²].

2. Звідси l = (q×d)/Dt = (100×0,6) / 30 = 2 [Вт/м×К]. Відповідь: l = 2 [Вт/м×К].

 

Задача 1.2. Стінки промислової сушарки виготовлено із цегли. Зовнішня стінка су-

шарки, з метою зменшення втрат тепла, вкрита шаром теплоізолюючого

матеріалу. Товщина цегляної стінки d₁ = 20 см; середнє значення коефіці-

єнта теплопровідності цегляної стінки l = 0,5 Вт/м×К, аналогічне значення

теплопровідності шару теплоізоляції l = 0,05 Вт/м×К. Значення температу-

ри на зовнішній поверхні цегляної стінки t₁ = 120 ⁰C; аналогічне значення

температури на зовнішній поверхні шару теплоізоляції t₂ = 30 ⁰C. Теплові

втрати (q) через один квадратний метр обох стінок не перевищують зна-

чення q = 100 Вт/м².

Необхідно знайти: 1) значення температур на межі між двома стінками;

2) товщину теплоізоляційного шару.

Рішення

1. Необхідно застосувати формулу для визначення теплового потоку, який проходить

через плоску стінку у стаціонарному тепловому режимі:

q = (l/d)×Dt, [Вт/м²].