Теоретичні відомості
ВЕКТОРНА АЛГЕБРА
Вектором називається напрямлений прямолінійний відрізок і позначається як: , де - початок, а - кінець вектора, або однією буквою (Рисунок.1.1)
При цьому довжина відрізка називається модулем вектора і позначається символом або .
Якщо початок відрізка співпадає з його кінцем, то вектор називається нульовим .
Вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій, або на паралельних прямих.
На відміну від фізичних векторів у математиці розглядаються вільні вектори, тобто вони визначені з точністю до точки прикладення.
Два вектори і називаються рівними , якщо:
- вони колінеарні ;
- мають однакову довжину і напрямлені в одну сторону.
Лінійні операції над векторами це – додавання векторів по правилу трикутника або паралелограма та добуток вектора на дійсне число.
Проекція вектора на вісь дорівнює:
,
де - кут між вектором та віссю . Тоді , користуючись лінійними операціями над векторами, у прямокутній системі координат маємо:
де - одиничні вектори направлені по осям . - проекції вектора на відповідні осі координат.
Легко показати, що модуль вектора , направляючі косинуси:
де - кути між вектором і відповідними осями координат.
Якщо і , то
,
.
Умова колінеарності двох векторів і це .
Координатами -мірного вектора є дійсних чисел . Сукупність векторів називається лінійно незалежною, якщо рівняння:
виконується тільки при умові, що всі . Система лінійно незалежних векторів утворює базис у -мірному просторі по якому можна розкласти будь-який вектор.
Дії над векторами можна зобразити у вигляді таблиці.
Означення та формули
| Приклади
| 1. Якщо і , то вектор або
, ,
| 1) ,
Вектор
або .
, ,
Вектор
;
; тобто
| 2. Сумою або різницею двох векторів і називається третій вектор
.
Добутком вектора на дійсне число називається вектор
.
| 1) , , .
Знайти .
Розв'язок:
.
Відповідь:
| 3. Скалярним добутком двох векторів і називається число , де - кут між векторами і , .
Якщо і ,
умова ортогональності двох векторів. В координатній формі:
і
.
| 1) Обчислити роботу виконаною силою по прямолінійному переміщенню матеріальної точки з положення в до .
.
Робота знаходиться по формулі: .
2) Знайти, при якому вектори і будуть перпендикулярними.
.
3) Знайти вектор , направлений по бісектрисі кута між векторами і , якщо .
Розв’язок:
.
Відповідь:
| 4. Векторним добутком двох векторів і називається вектор такий, що:
a) , де - кут між векторами і , довжина вектора чисельно дорівнює площі паралелограма побудованого на векторах і .
b) і .
c) Якщо , то вектори , , утворюють праву трійку. (Рисунок.1.2).
Якщо вектори і задані в координатній формі, тобто і в прямокутній системі координат з ортами , тоді векторний добуток можна знайти за формулою:
.
згідно властивості а), площу трикутника з вершинами , , можна обчислити за формулою:
.
Якщо і , умова колінеарності, тоді:
| 1) Визначити, при яких значеннях і вектор буде колінеарний вектору , якщо , .
Відповідь: .
2) Знайти координати вектора , якщо він перпендикулярний векторам і , а також задовольняє умові:
.
Розв’язок:
.
Тоді
3) Обчислити площу трикутника з вершинами , і .
Розв’язок:
Знайдемо координати векторів і .
, .
Відповідь:
| 5. Змішаний добуток трьох векторів. Послідовний добуток трьох векторів , , можна здійснити різними способами. Наприклад, можна вектори і перемножити векторно і отриманий вектор перемножити скалярно на вектор :
В результаті отримаємо число, що відповідає змішаному добутку трьох векторів. Враховуючи геометричний зміст скалярного і векторного добутків, це число означає об’єм призми, побудованої на векторах , і .
Тоді об’єм трикутної піраміди з вершинами у точках , , і обчислюється за формулою:
Якщо змішаний добуток трьох не нульових векторів дорівнює нулю, то вони лежать в одній площині, або в паралельних і називаються компланарними, тобто - умова компланарності.
| 1) Обчислити об’єм піраміди , якщо відомі координати її вершин: , , і .
Знайдемо координати векторів , .
Тоді об’єм піраміди дорівнює:
Відповідь: .
2) При якому вектори , , будуть компланарні?
Умова компланарності
.
3) Довести, що чотири точки , , і лежать в одній площині.
Знаходимо вектори , . Перевіримо умову компланарності:
Відповідь: точки лежать в одній площині.
| 6. Умова лінійної незалежності системи векторів.Якщо визначник із координат векторів не дорівнює нулю, то такі вектори лінійно незалежні і утворюють базис для даного простору. Будь які два не колінеарні вектори утворюють базис в ( ). Будь які три не колінеарні вектори утворюють базис в ( ), тоді утворений вектор можна розкласти по цьому базису, тобто знайти проекції вектора на вектори , і .
| 1) Довести, що вектори , і утворюють базисі знайти координати вектора в цьому базисі, якщо , , , .
Перевіряємо умову компланарності:
Утворюють базис в , тоді:
.
В координатній формі маємо
Для знаходження скористаємося правилом Крамера. Отже, Знайдемо .
Тоді Отже, , тобто координати вектора в новому базисі .
Відповідь: .
|
ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|