Здавалка
Главная | Обратная связь

Теоретичні відомості



ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

 

 

 

Вектором називається напрямлений прямолінійний відрізок і позначається як: , де - початок, а - кінець вектора, або однією буквою (Рисунок.1.1)

 

 
 
Рисунок 1.1

 


При цьому довжина відрізка називається модулем вектора і позначається символом або .

Якщо початок відрізка співпадає з його кінцем, то вектор називається нульовим .

Вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій, або на паралельних прямих.

На відміну від фізичних векторів у математиці розглядаються вільні вектори, тобто вони визначені з точністю до точки прикладення.

Два вектори і називаються рівними , якщо:

- вони колінеарні ;

- мають однакову довжину і напрямлені в одну сторону.

Лінійні операції над векторами цедодавання векторів по правилу трикутника або паралелограма та добуток вектора на дійсне число.

Проекція вектора на вісь дорівнює:

 

,

де - кут між вектором та віссю . Тоді , користуючись лінійними операціями над векторами, у прямокутній системі координат маємо:

 

де - одиничні вектори направлені по осям . - проекції вектора на відповідні осі координат.

Легко показати, що модуль вектора , направляючі косинуси:

 

де - кути між вектором і відповідними осями координат.

Якщо і , то

,

.

Умова колінеарності двох векторів і це .

Координатами -мірного вектора є дійсних чисел . Сукупність векторів називається лінійно незалежною, якщо рівняння:

 

 

виконується тільки при умові, що всі . Система лінійно незалежних векторів утворює базис у -мірному просторі по якому можна розкласти будь-який вектор.

Дії над векторами можна зобразити у вигляді таблиці.

 

Означення та формули Приклади
1. Якщо і , то вектор або   , , 1) , Вектор або . , , Вектор ; ; тобто
2. Сумою або різницею двох векторів і називається третій вектор . Добутком вектора на дійсне число називається вектор . 1) , , . Знайти . Розв'язок: . Відповідь:
3. Скалярним добутком двох векторів і називається число , де - кут між векторами і , . Якщо і , умова ортогональності двох векторів. В координатній формі:   і . 1) Обчислити роботу виконаною силою по прямолінійному переміщенню матеріальної точки з положення в до . . Робота знаходиться по формулі: . 2) Знайти, при якому вектори і будуть перпендикулярними. . 3) Знайти вектор , направлений по бісектрисі кута між векторами і , якщо . Розв’язок: .   Відповідь:
Рисунок. 1.2
4. Векторним добутком двох векторів і називається вектор такий, що:

a) , де - кут між векторами і , довжина вектора чисельно дорівнює площі паралелограма побудованого на векторах і .

b) і .

c) Якщо , то вектори , , утворюють праву трійку. (Рисунок.1.2).

 

Якщо вектори і задані в координатній формі, тобто і в прямокутній системі координат з ортами , тоді векторний добуток можна знайти за формулою:

.

згідно властивості а), площу трикутника з вершинами , , можна обчислити за формулою:

.

Якщо і , умова колінеарності, тоді:

 

1) Визначити, при яких значеннях і вектор буде колінеарний вектору , якщо , . Відповідь: . 2) Знайти координати вектора , якщо він перпендикулярний векторам і , а також задовольняє умові: . Розв’язок: . Тоді 3) Обчислити площу трикутника з вершинами , і . Розв’язок: Знайдемо координати векторів і . , . Відповідь:
5. Змішаний добуток трьох векторів. Послідовний добуток трьох векторів , , можна здійснити різними способами. Наприклад, можна вектори і перемножити векторно і отриманий вектор перемножити скалярно на вектор : В результаті отримаємо число, що відповідає змішаному добутку трьох векторів. Враховуючи геометричний зміст скалярного і векторного добутків, це число означає об’єм призми, побудованої на векторах , і . Тоді об’єм трикутної піраміди з вершинами у точках , , і обчислюється за формулою:   Якщо змішаний добуток трьох не нульових векторів дорівнює нулю, то вони лежать в одній площині, або в паралельних і називаються компланарними, тобто - умова компланарності. 1) Обчислити об’єм піраміди , якщо відомі координати її вершин: , , і . Знайдемо координати векторів , . Тоді об’єм піраміди дорівнює: Відповідь: . 2) При якому вектори , , будуть компланарні? Умова компланарності . 3) Довести, що чотири точки , , і лежать в одній площині. Знаходимо вектори , . Перевіримо умову компланарності: Відповідь: точки лежать в одній площині.
6. Умова лінійної незалежності системи векторів.Якщо визначник із координат векторів не дорівнює нулю, то такі вектори лінійно незалежні і утворюють базис для даного простору. Будь які два не колінеарні вектори утворюють базис в ( ). Будь які три не колінеарні вектори утворюють базис в ( ), тоді утворений вектор можна розкласти по цьому базису, тобто знайти проекції вектора на вектори , і . 1) Довести, що вектори , і утворюють базисі знайти координати вектора в цьому базисі, якщо , , , . Перевіряємо умову компланарності: Утворюють базис в , тоді: . В координатній формі маємо Для знаходження скористаємося правилом Крамера. Отже, Знайдемо .   Тоді Отже, , тобто координати вектора в новому базисі . Відповідь: .

 


ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.