Четырехмерные векторы и тензоры в псевдоевклидовом пространстве
2. Многомерный вектор Квадрат радиус-вектора определяется как
x12 + x22 + … + xn2 = S xi2 (1) Если ввести тензор вида gij = dik = - метрический тензор. (2)
то(1) записываем в виде для i , k =1,n S gik xi xk (3) В специальной теории относительности и электродинамике уравнения приобретают простой вид, если их представить в виде соотношений между векторами и тензорами в четырехмерном пространстве, метрика которого определяется тензором
Лекция №8
- метрика «псевдоевклидового» пространства (4) Пространство, свойства которого определяются тензором(4) называется псевдоэвклидовым Индексы пробегают значения μ, ν = 0,1,2,3 Индексы латинские ijk – латинские для векторов в обычном з-х мерном пространстве(в пространстве с эвклидовой метрикой) (xo,x1,x2,x3) – 4-прстранство Обозначения xo = ct ; x1 = x; x2 = y; x3 = z действие матричного оператора на вектор- в результате вектор - вектор четырехмерного пространства Выражение для результирующего вектора имеет вид r = ct – x – y – z алгебраическая запись действия матричного оператора x= / = ct/ - x1/ - x2/ - x3/ Любой вектор можно преобразовать, записывая матрицу преобразования. Определение квадрата радиуса-вектора в 4- пространстве - инвариант - матрица прямого преобразования(обратное-матрица с чертой) - прямое преобразование (8) - обратное преобразование Используя свойство инвариантности квадрата 4-радиус-вектора(интервала) запишем
подставим из(8) (11)
(12) после преобразований получим условие для линейного преобразования (13) Учитывая, что в отличны от нуля только диагональные члены (13) препишем в упрощенной форме m,n= 0,1,2,3 (14)
например при m,n= 0, 1- при m,n= 0, 2-при m=1, n=2
(15) (16) 1,2 – следствия из условия неинвариантности Связь между прямым и обратным преобразованием: ; -прямое преобразование (17) -обратное преобразование
где =1 коэффициент - символ Кронекера - единичная матрица
(18)
Компоненту можно представить в виде
Тогда можно записать m,n= 0,1,2,3 (20)
Система справедлива(удовлетворяется) если положить 1) 2) (21) 3) 4) i,k = 1,2,3, например, при m=n= 0 уравнение(20) выглядит в виде (22)
С учетом (21) a00a00 -∑13 ai0ai0 =1 (23)
что аналогично (15) При m=1, n= 2
∑13 a1ρaρ2 =0 (24)
Откуда с учетом (21) -a10a02 +∑13 ai1ai2 =0 - что похоже на (16)
Условие (21) можно записать в виде При m=0, n= 0 a'00 = a00 (g00 =g00=1) При m=0, n= i ≠0 как и при m=i≠0, n= 0 будет выполняться gμμ =-gνν , т.е. -1 Поэтому a'0i = -ai0 и a'i0 = -a0i
А при m = i ≠ 0, n= k ≠ 0
Оба множителя равны -1 gμμ =gνν = -1
так, что a'ik = aki
(что в (21)) В теории относительности рассматриваются преобразования, когда координаты x2=y, x3 =z остаются неизменными(выбор координат специально по движению вдоль оси x, когда переменными остаются время t и x) Очевидно, что матрица преобразования, имеет вид
Обратное преобразование имеет вид, аналогичный В системах отсчета K и K' матрицы отличаются на некий параметр р(например, поворот или относительная скорость V). В пределе при p->0 матрицы совпадут limp->0 a00 =lim p->0a11 =1 limp->0 a01 =lim p->0a10 =0 Записав(14) для m=0, n= 0 a200 - a210 =1 (28) Для обратного преобразования a'200 - a'210 =1 С учетом взаимосвязи прямого и обратного преобразования(21) a200 - a201 =1 (30)
Из (28) и (30) следует
a210 = a201
и извлекая корень a10 = _+ a01
Теперь(14) при m=0, n= 1 получим
a00 a01 - a10 a11 =0,
откуда при a10 = a01 1. a00 = a11 2. a00 = -a11, если a01 = a10 a00 = a11 a10 = - a01
Учитывая, что справедливы соотношения
limp->0 a00 =lim p->0a11 =1
то справедлив первый вариант. Тогда следует считать a00 = a11=γ0 a01 = a10=γ1
Тогда (26) перепишем в виде
Отсюда следует:
, причем
Поскольку , только один коэффициент является независимым. Коэффициенты обратного преобразования связаны соотношениями(21)
a'00 = a00=γ0 a'01 = -a10=γ1
То есть координата x меняются; y,z – const Тогда матрица обратного преобразования может быть представлена в виде
Таким образом, рассмотрены основные свойства преобразований 4-вектров, которые используются при формировании математического аппарата преобразований основных показателей(уравнений движения) для движущихся систем-преобразования Лоренца ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|