Здавалка
Главная | Обратная связь

Дискретное преобразование Фурье



Многие сигналы удобно анализировать, раскладывая их на синусоиды (гармоники). Тому есть несколько причин:1)человеческое ухо раскладывает звук на отдельные колебания различных частот. 2)синусоиды являются «собственными функциями» линейных систем (т.к. они проходят через линейные системы, не изменяя формы, а изменяют лишь фазу и амплитуду). 3)теорема Котельникова формулируется в терминах спектра сигнала.

Преобразование Фурье – это разложение функций на синусоиды. Существует несколько видов преобразования Фурье:

1.Разложение непериодического непрерывного сигнала в интеграл Ф.

2.Разложение периодического непрерывного сигнала в беск. ряд Фурье.

3.Разложение непериодического дискретного сигнала в интеграл Фурье.

4.Разложение периодического дискретного сигнала в конечный ряд Ф.

Реально компьютер способен вычислять только последний вид преобразования Фурье. Пусть дискретный сигнал x[n] имеет период N точек. В этом случае его можно представить в виде конечного ряда (т.е. линейной комбинации) дискретных синусоид:

Синусоиды имеют кратные частоты. Первый член ряда – это константа,

называемая постоянной составляющей сигнала. Самая первая синусоида имеет такую частоту, что ее период совпадает с периодом исходного сигнала. Самая высокочастотная составляющая имеет такую частоту, что ее период равен двум отсчетам. Коэффициенты Ak и Bk называются спектром сигнала. Шаг по частоте между двумя соседними синусоидами из разложения Фурье называется частотным разрешением спектра.

Для каждого сигнала можно однозначно определить значения спектра. Зная их, можно однозначно восстановить исходный сигнал, вычислив сумму ряда в каждой точке. Разложение сигнала на синусоиды (т.е. получение коэффициентов) называется прямым преобразованием Фурье. Обратный процесс – синтез сигнала по синусоидам – называется обратным преобразованием Фурье. Прямое преобразования Фурье:

Система функций от аргумента n является ортогональным базисом в пространстве периодических дискретных сигналов с периодом N. Это значит, что для разложения по ней любого элемента пространства (сигнала) нужно посчитать скалярные произведения этого элемента со всеми функциями системы, и полученные коэффициенты нормировать. Коэффициенты находятся как скалярные произведения (в непрерывном случае – интегралы от произведения функций, в дискретном случае – суммы от произведения дискретных сигналов): .

 

Применения ДПФ.

1)Спектральный анализ.Наиболее интересными являются амплитуды отдельных гармоник, а не их фазы. В этом случае спектр обычно отображается в виде графика зависимости амплитуды от частоты. Часто шкала частот градуируется в децибелах. Децибелы измеряют не сами амплитуды, а их отношения. Например, разница на 20 дБ означает различие амплитуд в 10 раз, разница на 40 дБ означает отношение амплитуд в 100 раз. Различию амплитуд в 2 раза отвечает разница примерно в 6 дБ. Шкала частот также часто градуируется в логарифмическом масштабе.

Сначала нужно выбрать отрезок сигнала, на котором будет вычисляться спектр. Длина отрезка должна быть степенью двойки (для работы БПФ). Иначе сигнал надо дополнить нулями до нужной длины. После этого к выбранному участку сигнала применяют БПФ. Коэффициенты амплитуд считают по формуле:

При разложении функции в ряд Фурье мы полагаем, что функция периодическая, с периодом, равным размеру БПФ. Вычисляется спектр именно такой функции (а не той, из которой мы извлекли кусок). При этом на границах периодов такая функция наверняка будет иметь разрывы (ведь исходная функция не была периодической). А разрывы в функции сильно отражаются на ее спектре, искажая его. Для устранения этого эффекта применяются взвешивающие окна. Они плавно сводят на нет функцию вблизи краев анализируемого участка. Весовые окна формой похожи на гауссианы. Выбранный для анализа участок сигнала домножается на весовое окно, которое устраняет разрывы функции при «зацикливании» данного участка сигнала, которое происходит при ДПФ.

Свойства спектрального анализа:1)Не существует одного, единственно правильного спектра какого-либо сигнала. Спектр можно вычислять с применением различных размеров БПФ и различных весовых окон. Для каждого конкретного приложения используют свои способы.

2)При разложении в спектр мы находим не те синусоидальные составляющие, из которых состоял исходный сигнал, а лишь находим, с какими амплитудами нужно взять определенные кратные частоты, чтобы получить исходный сигнал. То есть, разложение проводится не по «частотам источника», а по «частотам алгоритма БПФ».

2)Быстрая свертка и корреляция.Прямое вычисление свертки требует N*M умножений, где N – длина исходного сигнала, а M – длина ядра свертки.

Теорема свертки: свертка во временной области эквивалентна умножению в частотной области; умножение во временной области эквивалентно свертке в частотной области. То есть, для выполнения свертки двух сигналов можно перевести их в частотную область, умножить их спектры и перевести их обратно во временную область.

БПФ позволяет быстро проводить операцию свертки. Алгоритм: Исходный сигнал длины N и ядро свертки длины M дополняются нулями до длины L (L – степень двойки). Затем вычисляются ДПФ этих двух сигналов. Затем спектры сигналов необходимо перемножить как состоящие из комплексных чисел, т.е. образовать новый спектр из коэффициентов и , получающихся по формуле:

Из полученного спектра с помощью обратного ДПФ вычисляется сигнал, состоящий из L точек. Этот сигнал и содержит результат свертки из N+M-1 точек, дополненный нулями до L точек.

Поскольку корреляцию можно вычислять с помощью свертки, рассмотренный алгоритм подходит и для быстрого вычисления корреляции.

3)Фильтрация - эффект от умножения спектров сигналов при свертке. Когда спектры умножаются как комплексные числа, происходит умножение амплитуд гармоник исходного сигнала и ядра свертки. Таким образом, мы получаем возможность менять спектр сигнала.

Ядро свертки при фильтрации часто называют фильтром. Длина (размер) фильтра – это длина ядра свертки. В общем случае, фильтр меняет в спектре сигнала и амплитуды гармоник, и их фазы. Основное свойство любого фильтра – это его частотная и фазовая характеристики. Они показывают, какое влияние фильтр оказывает на амплитуду и фазу различных гармоник обрабатываемого сигнала. Типы фильтров: НЧ-фильтры, ВЧ-фильтры, полосовые фильтры, которые пропускают или подавляют сигнал только в определенной частотной полосе. Фильтры строятся на основе частотной характеристики. Идея состоит в том, чтобы получить требуемое ядро свертки как обратное преобразование Фурье от требуемой частотной характеристики. Готовое ядро можно использовать для проведения операции свертки (фильтрации).

4) Деконволюция - восстановление исходного сигнала по свернутому.Чтобы восстановить сигнал после искажения его какой-либо линейной системой, надо хотя бы приблизительно знать частотную характеристику искажающей системы. Для выполнения деконволюции нужно построить фильтр с частотной характеристикой, обратной искажающему, и выполнить свертку искаженного сигнала с этим фильтром. Построить такой фильтр не всегда возможно и не всегда целесообразно.

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.