Здавалка
Главная | Обратная связь

Примеры решения задач

ГЛАВА 6

ОПТИКА

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА

Основные формулы

• Фокусное расстояние сферического зеркала

f=R/2,

где R — радиус кривизны зеркала.

Оптическая сила сферического зеркала

Ф=1/f. Формула сферического зеркала

,

где а и b — расстояния от полюса зеркала соответственно до пред­мета и изображения.

Если изображение предмета мнимое, то величина b берется со знаком минус.

Если фокус сферического зеркала мнимый (зеркало выпуклое), то величина f берется со знаком минус.

• Закон преломления света

,

где ε1 — угол падения; ε2 — угол преломления; n21=n2/n1 отно­сительный показатель преломления второй среды относительно пер­вой; n1 и n2 абсолютные показатели преломления соответственно первой и второй сред.

Нижние индексы в обозначениях уг­лов указывают, в какой среде (первой или второй) идет луч. Если луч перехо­дит из второй среды в первую, падая на поверхность раздела под углом ε2=ε2, то по принципу обратимости све­товых лучей угол преломления ε1 будет равен углу ε1 (рис. 28.1).

• Предельный угол полного отражения при переходе света из среды более оптически плотной в среду менее оптически плотную

εпр= arcsin(n2/n1) (n2<n1)

• Оптическая сила тонкой линзы

,

где f — фокусное расстояние линзы; nЛ — абсолютный показатель преломления вещества линзы; nср — абсолютный показатель пре­ломления окружающей среды (одинаковой с обеих сторон линзы).

В приведенной формуле радиусы выпуклых поверхностей (R1 и R2) берутся со знаком плюс, вогнутых — со знаком минус.

• Оптическая сила двух тонких сложенных вплотную линз

Ф=Ф12.

• Формула тонкой линзы

,

где a — расстояние от оптического центра линзы до предмета; b —расстояние от оптического центра линзы до изображения.

Если фокус мнимый (линза рассеивающая), то величина f отри­цательна.

Если изображение мнимое, то величина b отрицательна.

• Угловое увеличение лупы

Г=D/f,

где D — расстояние наилучшего зрения (D=25 см).

• Угловое увеличение телескопа

Г = fоб/fок,

где fоб и fок — фокусные расстояния соответственно объектива и окуляра.

Расстояние от объектива до окуляра телескопа

L=fоб + fок

Эти формулы можно применять только в том случае, если в теле­скоп наблюдают весьма удаленные предметы.

• Угловое увеличение микроскопа

L=δD/(fоб/fок),

где δ — расстояние между задним фокусом объектива и передним фокусом окуляра.

Расстояние от объектива до окуляра микроскопа

L=fоб + δ + fок

Примеры решения задач

Пример 1. На стеклянную призму с преломляющим углом θ=50° падает под углом ε=30° луч света. Определить угол откло­нения σ луча призмой, если показатель преломления п стекла равен 1,56.

Решение. Данную задачу целесообразно решать не в общем виде, как принято, а пооперационно, производя все промежуточ­ные вычисления. В этом случае мы несколько проигрываем в точ­ности расчетов, но выигрываем в наглядности и простоте вычислений. Из рис. 28.2 видно, что угол отклонения

σ=γ+γ’, (1)

углы γ и γ’ просто выражаются через углы ε12’,ε1’,ε2, которые последовательно и будем вычислять:

1) из закона преломления n=sin ε1/sin ε2’ имеем

°;

2) из рис. 28.2, следует, что угол падения ε2 на вторую грань призмы равен

°.

Угол ε2 меньше предельного ε2пред=arcsin(1/n)= 39,9°, по­тому на второй грани луч преломится и выйдет из призмы;

 

3) так как sin ε2/sin ε1=l/n, то ε1’=arcsin(пsin ε2)=54,1°.

Теперь найдем углы γ и γ’:

γ= ε1— ε2’=11,3° и

γ’=ε1’—ε2=22,8°.

По формуле (1) находим σ=γ+γ’=34,1°.

 

Пример 2. Оптическая сис­тема представляет собой тон­кую плосковыпуклую стек­лянную линзу, выпуклая по­верхность которой посереб­рена. Определить главное фо­кусное расстояние f такой системы, если радиус кривиз­ны R сферической поверхно­сти линзы равен 60 см.

Решение. Пусть на линзу падает параксиальный луч KL, параллельный глав­ной оптической оси MN лин­зы (рис. 28.3). Так как луч KL перпендикулярен плоской поверхности линзы, то он проходит ее без преломления.

На сферическую посеребренную поверхность луч падает в точке L под углом ε1 и отражается от нее под углом ε1’=ε1. Отраженный луч падает на границу плоской поверхности линзы под углом 2ε1 и по выходе из линзы пересекает главную оптическую ось в точке F, образуя с осью угол ε2. Длина полученного при этом отрезка FP и равна искомому фокусному расстоянию рассматриваемой оптичес­кой системы.

Если учесть, что в силу параксиальности луча KL углы ε1 и ε2 малы, а их синусы и тангенсы практически равны самим углам, выраженным в радианах, то из рис. 28.3 следует

.

Входящее в формулу (1) отношение ε12 углов найдем, пользуясь законом преломления света, который в нашем случае записываете;

в виде 2ε12==l/n, откуда

ε12=l/(2n).

Подставив это отношение углов в формулу (1), найдем

f=R/(2n).

Такой же результат можно получить и из формальных соображений. Так как луч K.L последовательно проходит линзу, отражается от вогнутого зеркала и еще раз проходит линзу, то данную оптическую систему можно рассматривать как центрированную сис­тему, состоящую из сложенных вплотную двух плосковыпуклых линз и сферического зеркала. Фокусное расстояние оптической системы может быть найдено по формуле

f=1/Ф,

где Ф — оптическая сила системы.

Как известно, оптическая сила системы равна алгебраической сумме оптических сил отдельных компонентов системы. В нашем слу­чае

Ф= ,т. е.

f=1/Ф=R/(2n),

что совпадает с результатом, выраженным формулой (2).

Задачи

Отражение и преломление света

28.1. Два плоских прямоугольных зеркала образуют двугранный угол φ=179°. На расстоянии l=10 см от линии соприкосновения зеркал и на одинаковом расстоянии от каждого зеркала находится точечный источник света. Определить расстояние d между мнимыми изображениями источника в зеркалах.

28.2. На сферическое зеркало падает луч света. Найти построе­нием ход луча после отражения в двух случаях: а) от вогнутого зеркала (рис. 28.4, а); б) от выпуклого зеркала (рис. 28.4, б). На рисунке: Р — полюс зеркала; О — оптический центр.

28.3. Вогнутое сферическое зеркало дает на экране изображение предмета, увеличенное в Г=4 раза. Расстояние а от предмета до зеркала равно 25 см. Определить радиус R кривизны зеркала.

28.4. Фокусное расстояние f вогнутого зеркала равна 15 см. Зеркало дает действительное изображение предмета, уменьшенное в три раза. Определить расстояние а от предмета до зеркала.

28.5. На рис. 28.5, а, б указаны положения главной оптической оси MN сферического зеркала, светящейся точки 5 и ее изображе­ния S'. Найти построением положения оптического центра О зер­кала, его полюса Р и главного фокуса F. Определить, вогнутым или выпуклым является данное зеркало. Будет ли изображение действительным или мнимым?

28.6. Вогнутое зеркало дает на экране изображение Солнца в виде кружка диаметром d=28 мм. Диаметр Солнца на небе в угло­вой мере β=32'. Определить радиус R кривизны зеркала.

28.7. Радиус R кривизны выпуклого зеркала равен 50 см. Пред­мет высотой h=15 см находится на расстоянии и, равном 1 м, от зеркала. Определить расстояние b от зеркала до изображения и его высоту Н.

28.8. На рис. 28,6, а, б указаны положения главной оптической оси MN сферического зеркала и ход луча 1. Построить ход луча 2 после отражения его от зеркала.

28.9. На столе лежит лист бумаги. Луч света, падающий на бу­магу под углом ε=30°, дает на ней светлое пятно. Насколько смес­тится это пятно, если на бумагу положить плоскопараллельную стеклянную пластину толщиной d=5 см?

28.10. Луч падает под углом ε=60° на стеклянную пластинку толщиной d=30 мм. Определить боковое смещение Δx; луча после выхода из пластинки.

28.11. Пучок параллельных лучей падает на толстую стеклян­ную пластину под углом ε=60°, и преломляясь переходит в стек­ло. Ширина а пучка в воздухе равна 10 см. Определить ширину b пучка в стекле.

28.12. Луч света переходит из среды с показателем преломления n1 в среду с показателем преломления n2. Показать, что если угол между отраженным и преломленным лучами равен π/2, то выпол­няется условие tgε1==n2/n1 (ε1 — угол падения).

28.13. Луч света падает на грань призмы с показателем прелом­ления п под малым углом. Показать, что если преломляющий угол θ призмы мал, то угол отклонения σ лучей не зависит от угла паде­ния и равен θ(n — 1).

28.14. На стеклянную призму с преломляющим углом θ=60° падает луч света. Определить показатель преломления п стекла, если при симметричном ходе луча в призме угол отклонения σ =40°.

28.15. Преломляющий угол θ стеклянной призмы равен 30°. Луч света падает на грань призмы перпендикулярно ее поверхнос­ти и выходит в воздух из другой грани, отклоняясь на угол σ=20° от первоначального направления. Определить показатель прелом­ления п стекла.

28.16. Луч света падает на грань стеклянной призмы перпенди­кулярно ее поверхности и выходит из противоположной грани, отклонившись на угол σ=25° от первоначального направления. Определить преломляющий угол θ призмы.

28.17. На грань стеклянной призмы с преломляющим углом θ=60° падает луч света под углом ε1=45°. Найти угол преломления ε2’, луча при выходе из призмы и угол отклоненияσ луча от перво­начального направления.

28.18. Преломляющий угол θ призмы равен 60°. Угол наимень­шего отклонения луча от первоначального направления σ =30°. Определить показатель преломления п стекла, из которого изготов­лена призма.

28.19. Преломляющий угол θ призмы, имеющей форму острого клина, равен 2°. Определить угол наименьшего отклонения σmin луча при прохождении через призму, если показатель преломления п стекла призмы равен 1,6.

Оптические системы

28.20. На тонкую линзу падает луч света. Найти построением ход луча после преломления его линзой: а) собирающей (рис. 28.7, а); б) рассеивающей (рис. 28,7 б). На рисунке: O — оптический центр линзы; F — главный фокус.

28.21.- На рис. 28.8, а, б, указаны положения главной оптичес­кой оси MN линзы и ход луча 1. Построить * ход луча 2 после пре­ломления его линзой.

28.22. Найти построением положение светящейся точки, если известен ход лучей после преломления их в линзах: а) собираю­щей (рис. 28.9, а); б) рассеивающей (рис. 28.9, б). На рисунке: О — оптический центр линзы; F — ее главный фокус.

28.23. На рис. 28.10, а, б указаны положения главной оптичес­кой оси MN тонкой линзы, светящейся точки S и ее изображения S'. Найти построением * положения оптического центра О линзы и ее фокусов F. Указать, собирающей или рассеивающей будет дан­ная линза. Будет ли изображение действительным или мнимым?

28.24. Линза, расположенная на оптической скамье между лам­почкой и экраном, дает на экране резко увеличенное изображение лампочки. Когда Лампочку передвинули Δl=40 см ближе к экрану, на нем появилось резко уменьшенное, изображение лампочки. Оп­ределить фокусное расстояние f линзы, если расстояние l от лампоч­ки до экрана равно 80 см.

 

28.25. Каково наименьшее возможное расстояние l между пред­метом и его действительным изображением, создаваемым собираю­щей линзой с главным фокусным расстоянием f=12 см?

28.26. Человек движется вдоль главной оптической оси объектива фотоаппарата со скоростью v=5 м/с. С какой скоростью и необ­ходимо перемещать матовое стекло фотоаппарата, чтобы изображе­ние человека на нем все время оставалось резким. Главное фокус­ное расстояние f объектива равно 20 см. Вычисления выполнить для случая, когда человек находился на расстоянии а=10 м от фо­тоаппарата.

28.27. Из стекла требуется изготовить плосковыпуклую линзу, оптическая сила Ф которой равна 5 дптр. Определить радиус R кривизны выпуклой поверхности линзы.

28.28. Двояковыпуклая линза имеет одинаковые радиусы кри­визны поверхностей. При каком радиусе кривизны R поверхностей линзы главное фокусное расстояние f ее будет равно 20 см?

28.29. Отношение k радиусов кривизны поверхностей линзы равно 2. При каком радиусе кривизны R. выпуклой поверхности оп­тическая сила Ф линзы равна 10 дптр?

28.30. Определить радиус R кривизны выпуклой поверхности линзы, если при отношении k радиусов кривизны поверхностей линзы, равном 3, ее оптическая сила Ф=-8 дптр.

28.31. Из двух часовых стекол с одинаковыми радиусами R кривизны, равными 0,5 м, склеена двуяковогнутая «воздушная» линза. Какой оптической силой Ф будет обладать такая линза в воде?

28.32. Линза изготовлена из стекла, показатель преломления которого для красных лучей nк=1,50, для фиолетовых nф=1,52. Радиусы кривизны R обеих поверхностей линзы одинаковы и равны 1 м. Определить расстояние Δf между фокусами линзы для красных и фиолетовых лучей.

28.33. Определить главное фокусное расстояние f плосковыпук­лой линзы, диаметр d которой равен 10 см. Толщина h в центре лин­зы равна 1 см, толщину у краев можно принять равной нулю.

28.34. Определить оптическую силу Ф мениска*, если радиусы кривизны R1 и R2 его выпуклой и вогнутой поверхностей равны соответственно 1 м и 40 см.

28.35. Главное фокусное расстояние f собирающей линзы в воз­духе равно 10 см. Определить, чему оно равно: 1) в воде; 2) в корич­ном масле.

28.36. У линзы, находящейся в воздухе, фокусное расстояние f1=5 см, а погруженной в раствор сахара f2=35 см. Определить по­казатель преломления n раствора.

28.37. Тонкая линза, помещенная в воздухе, обладает оптической силой Ф1=5 дптр, а в некоторой жидкости Ф2=-0,48 дптр. Оп­ределить показатель преломления n2 жидкости, если показатель преломления n1 стекла, из которого изготовлена линза, равен 1,52.

28.38. Доказать, что оптическая сила Ф системы двух сложенных

вплотную тонких линз равна сумме оптических сил Ф1 и Ф2 каждой из этих линз.

28.39. В вогнутое сферическое зеркало радиусом R=20 см на­лит тонким слоем глицерин. Определить главное фокусное расстоя­ние f такой системы.

28.40. Плосковыпуклая линза имеет оптическую силу Ф1=4 дптр. Выпуклую поверхность линзы посеребрили. Найти оптичес­кую силу Ф2 такого сферического зеркала.


28.41. Поверх выпуклого сферического зеркала радиусом кри­визны R=20 см налили тонкий слой воды. Определить главное фо­кусное расстояние f такой системы.

28.42. Человек без очков читает книгу, располагая ее перед собой на расстоянии а=12,5 см. Какой оптической силы Ф очки следует ему носить?

28.43. Пределы аккомодации глаза близорукого человека без очков лежат между a1=16 см и a2=80 см. В очках он хорошо видит удаленные предметы. На каком минимальном расстоянии d он может держать книгу при чтении в очках?

28.44. Лупа, представляющая собой двояковыпуклую линзу, изготовлена из стекла с показателем преломления n=1,6. Радиусы кривизны R поверхностей линзы одинаковы и равны 12 см. Опреде­лить увеличение Г лупы.

28.45. Лупа дает увеличение Г=2. Вплотную к ней приложили собирательную линзу с оптической силой Ф1=20 дптр. Какое уве­личение Г2 будет давать такая составная лупа?

28.46. Оптическая сила Ф объектива телескопа равна 0,5 дптр. Окуляр действует как лупа, дающая увеличение Г1=10. Какое увеличение Г2 дает телескоп?

28.47. При окуляре с фокусным расстоянием f=50 мм телескоп дает угловое увеличение Г1==60. Какое угловое увеличение Г2 даст один объектив, если убрать окуляр и рассматривать действи­тельное изображение, созданное объективом, невооруженным гла­зом с расстояния наилучшего зрения?

28.48. Фокусное расстояние f1 объектива телескопа равно 1 м. В телескоп рассматривали здание, находящееся на расстоянии а= 1 км. В каком направлении и на сколько нужно передвинуть окуляр, чтобы получить резкое изображение в двух случаях: 1) если после здания будут рассматривать Луну; 2) если вместо Луны будут рас­сматривать близкие предметы, находящиеся на расстоянии a1= =100 м?

28.49. Телескоп наведен на Солнце. Фокусное расстояние f1 объектива телескопа равно 3 м. Окуляр с фокусным расстоянием f2=50 мм проецирует действительное изображение Солнца, создан­ное объективом, на экран, расположенный на расстоянии b=60 см от окуляра. Плоскость экрана перпендикулярна оптической оси телескопа. Определить линейный диаметр d изображения Солнца на экране, если диаметр Солнца на небе виден невооруженным глазом под углом α=32'.

28.50. Фокусное расстояние f1 объектива микроскопа равно 8 мм, окуляра f2==4 см. Предмет находится на Δа=0,5 мм дальше от объек­тива, чем главный фокус. Определить увеличение Г микроскопа.

28.51. Фокусное расстояние f1 объектива микроскопа равно 1 см, окуляра f2=2 см. Расстояние от объектива до окуляра L=23 см. Какое увеличение Г дает микроскоп? На каком расстоянии а от объектива находится предмет?

28.52. Расстояние δ между фокусами объектива и окуляра внут­ри микроскопа равно 16 см. Фокусное расстояние f1 объектива рав­но 1 мм. С каким фокусным расстоянием f2 следует взять окуляр, чтобы получить увеличение Г=500?


* Считать, что среды по обе стороны линзы одинаковы.

 

* Мениском называют линзу, ограниченную двумя сферическими поверх­ностями, имеющими одинаковое направление кривизны.





©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.