Главная | Обратная связь

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА

 

Геометрическая оптика – это раздел классической физики, где принципиально не ставится вопрос, что такое свет, а, основываясь на определённой концепции, рассматриваются с единой точки зрения некоторые (не всё!) оптические явления. Следует сразу подчеркнуть, что геометрическая оптика - это частная, приближённая теория; целый ряд оптических явлений геометрическая оптика объяснить не в состоянии. Тем не менее, это очень полезная теория, так как при всей своей относительной простоте там, где она «работает», экспериментальные результаты с высокой степенью точности соответствуют теоретическим расчётам.

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

1. Основные понятия геометрической оптики……………………………………….1
2. Принцип Ферма, законы отражения и преломления…………………………….. 3
3. Призма как оптический прибор…………………………………………………… 5
4. Полное отражение………………………………………………………………….. 6
5. Зеркала……………………………………………………………………………….12
6. Линзы……………………………………………………………………………….. 16
7. Глаз как оптическая система………………………………………………………. 25
8. Приборы, увеличивающие угол зрения…………………………………………... 30
9. Фотоаппарат, проектор…………………………………………………………….. 35

Приложение. Элементы волновой оптики, законы отражения и преломления……. 37

 

 

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ

 

Первые оптические приборы и устройства, основанные на идеях геометрической оптики, появились много столетий назад. Создавались они искусными умельцами, обладавшими не только умелыми руками, но и большой наблюдательностью. Первые линзы и телескопы были сделаны на основе расчетов и предшествующего опыта. Расчеты велись с помощью законов геометрической оптики: закона прямолинейного распространения света в однородной среде, законов отражения и преломления света, полученных опытным путем. При этом использовались понятия «световой пучок» и «световой луч», причем последний рассматривался как бесконечно тонкий пучок. Были разработаны весьма изящные методы расчета оптических систем на основе этих понятий и законов. Эти методы сохранили свое значение и после того, как была выяснена волновая природа света.

В приложении показано, как законы отражения и преломления света можно вывести с помощью принципа Гюйгенса исходя из волновой теории. С помощью принципа Гюйгенса – Френеля можно решить вопрос и о прямолинейном распространении света. Выясним, как же соотносится понятие светового пучка, проходящего через диафрагму, с явлением дифракции света - явления, наблюдаемого экспериментально, но не объяснимого с точки зрения геометрической оптики.

Световой пучок и дифракция. Пусть на диафрагму-отверстие падает нормально параллельный пучок света; с волновой точки зрения это означает, что на экран 1 падает плоская волна (рис. 1.1). Если исходить из представлений геометрической оптики, в частности из закона прямолинейного распространения света, то на экране 2 должно получиться световое пятно точно такого же диаметра, как и отверстие.

Опыт показывает, что если диаметр отверстия (диафрагмы) достаточно велик, а расстояние между экранами L не очень велико, то мы получаем ожидаемый результат. Но если отверстие не очень велико, а расстояние между диафрагмой и экраном большое, то пятно на экране расширяется; кроме того, на краях пятна наблюдается чередование светлых и темных колец – интерференционных максимумов и минимумов.

Причина очевидна – сказывается явление дифракции света (см. соответствующие разделы волновой оптики). Исходя из этого опыта, попытаемся выяснить, когда дифракцией можно пренебречь и когда она явно проявляется.

Как известно, дифракционный угол φ между направлениями на центральный максимум и ближайший к нему первый ми­нимум можно найти из приближенного соотношения .

 

Риc. 1.1 Риc. 1.2

 

Из рисунка 1.2 видно, что ширина пятна на экране 2 равна D = d+2∆, где ∆ = L tg (φ/2). Учитывая, что длина световой волны очень мала (λ≈0,5 мкм), т.е. λ∙ d, можно считать, что . Тогда φ≈λ/d и ∆≈Lφ/2 = Lλ/(2d) . Поэтому для диаметра пятна будем иметь:

(1.1)

Из соотношения (1.1) следуют важные выводы.

1) Дифракция не наблюдается, если Lλ/d<<d. В этом случае D≈d, т.е. свет распространяется прямолинейно, как и должно быть в соответствии с положениями геометрической оптики.

Таким образом, закон прямолинейности распространения света оказывается приближенным законом. Им можно пользоваться, если выполняется неравенство

(1.2)

2) Дифракция наблюдается, если . В этом случае , т. е. размер пятна на экране 2 много больше размера отверстия диафрагмы, и закон прямолинейности распространения света нарушается. Дифракция на диафрагме будет хорошо наблюдаться, если справедливо неравенство

(1.3)

Это условие определяет границы применимости геометричес­кой оптики.

Пучок и луч. Иногда говорят, что луч – это очень узкий пучок света. Данное утверждение – принципиально ложно.

В самом деле, представим себе, что имеется диафрагма, диаметр которой мы можем неограниченно уменьшать. Пока выполняется условие (1.2), пучок остается параллельным и слабо расходится. Но по мере уменьшения диаметра диафрагмы второе слагаемое в выражении (1.1) возрастает, и при условии, например, пятно на экране станет вдвое шире, т.е. .

Итак, сжимая пучок света путем уменьшения размера диафрагмы, мы получаем обратный эффект: пучок не только не сжимается, но, наоборот, за счет дифракции расширяется. Отсюда следует, что бесконечно узких световых пучков не бывает! Этот результат – следствие волновой природы света.

Что же такое луч? Это не физическая модель, а чисто геометрическое понятие. Луч – это направление, в котором световой волной переносится энергия, это перпендикуляр к фронту световой волны. До создания волновой оптики луч считали физическим объектом, и эта терминология по традиции сохраняется, иногда и в учебниках, а особенно в быту и популярной литературе. С этим приходится мириться, но при этом следует помнить, что реальными физическими объектами являются световая волна и световой пучок. Световой луч – это полезное геометрическое понятие, облегчающее решение ряда задач методами геометри­ческой оптики.

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Задача 1.1. Диафрагма диаметром 1 см освещается зеленым светом с длиной волны 0,5 мкм. На каком расстоянии от диафрагмы будет справедливо прибли­жение геометрической оптики?

Решение. Из соотношения (1.2) имеем:

Следовательно, для расстояний от диафрагмы, много меньших 200 м, например 10 м, вполне справедливо приближение геометрической оптики. Наблюдать дифракцию на таком отверстии можно лишь на расстояниях порядка 200 м или больше, что экспериментально практически невозможно.

 

1. ПРИНЦИП ФЕРМА, ЗАКОНЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ

Принцип минимального времени. В 1660 г. П. Ферма сформулировал принцип, который явился обобщением законов геометрической оптики. В простейшей формулировке этот принцип звучит так: в пространстве между двумя точками свет распространяется по тому пути, вдоль которого время его прохождения минимально.

В вакууме скорость света максимальна. В оптической среде с показателем преломления время прохождения светом того же расстояния увеличивается в раз. Величина s, равная произ­ведению абсолютного показателя преломления на пройденное расстояние ( ), называется оптической длиной пути. Принцип Ферма относится именно к оптической длине пути: из одной точки в другую свет распространяется по линии с наименьшей оптической длиной пути.

Прямолинейность распространения света. Используя принцип Ферма, можно получить закон прямолинейного распространения света. Свет из одной точки в другую распространяется по кратчайшему расстоянию. В однородной среде кратчайшим оптическим путем является прямая линия.

Однако в неоднородной среде кратчайшим оптическим путем может оказаться некоторая кривая (или ломаная) линия, вдоль которой показатель преломления меньше, чем вдоль геометрической прямой. Этим объясняется явление преломления света и искривление световых лучей в неоднородной среде – явление рефракции.

Закон отражения. Пусть на зеркальную поверхность падает свет из точки А. В точке А' собираются лучи, отраженные от зеркала (рис. 2.1). Предположим, что свет из точки А в точку А' может распространяться двумя путями – отражаясь от точек О и О'. Время, которое потребуется свету, чтобы пройти из источника А в точку А' через точку О, можно определить из вы­ражения

(2.1)

Здесь υ – скорость распространения света. Покажем, что время прохождения света по траектории АОА' меньше, чем по любой другой траектории АО'А'.

Продифференцируем выражение (2.1) и приравняем производную нулю в соответствии с принципом Ферма. Учтем, что . Получим:

(2.2)

Отсюда получаем ; а так как оба угла острые, то отсюда следует равенство углов:

(2.3)

Рис. 2.1 Рис. 2.2

 

Мы получили соотношение, выражающее закон отражения света: угол отражения равен углу падения . Из принципа Ферма следует и вторая часть этого закона: отраженный луч лежит в плоскости, проходящей через падающий луч и нормаль к отражающей поверхности. Ведь если бы эти лучи лежали в разных плоскостях, то не был бы минимальным путь .

Закон преломления света. Аналогичным образом, используя принцип Ферма, рассмотрим явление, происходящее на границе раздела двух сред. Пусть в среде I скорость света и,, в среде II – (рис. 2.2). Для прохождения света из точки , в точку будет затрачено время

(2.4)

Выберем из всех возможных траекторий распространения света ту, которой соответствует минимальное время распространения света. Продифференцировав и положив производную равной нулю, получим:

(2.5)

Учитывая, что получим:

(2.6)

Откуда следует:

(2.7)

Это и есть закон преломления света. Запишем его в более удобной форме:

(2.8)

 

Рис.2.3

 

Из построений и принципа Ферма следует также, что преломленный луч лежит в плоскости, проходя­щей через падающий луч и перпендикуляр к поверхности раздела двух сред.

Рассматривая падение светового пучка на границу раздела двух сред, мы говорили раздельно об отражении и преломлении света. Это было выз­вано необходимостью вывода законов отражения и преломления света. Однако практически всегда на границе раздела двух сред световой пучок разделяется на два – отраженный и преломленный (рис. 2.3).

 

1. ПРИЗМА КАК ОПТИЧЕСКИЙ ПРИБОР

Дисперсией света называется зависимость показателя преломления вещества от частоты (длины волны ) света или зависимость фазовой скорости световых волн от его частоты . Дисперсия света представляется в виде зависимости

(3.1)

Следствием дисперсии является разложение в спектр пучка белого света при прохождении его через призму. Первые экспериментальные наблюдения дисперсии света принадлежат И. Ньютону (1672 г.).

Рассмотрим дисперсию света в призме. Пусть монохроматический пучок света падает на призму с преломляющим углом А и показателем преломления (рис. 3.1) под углом . После двукратного преломления (на левой и правой гранях призмы) луч оказывается отклоненным от первоначального направления на угол . Из рисунка следует, что

(3.2)

Предположим, что углы и малы, тогда углы , и будут также малы и вместе синусов этих углов можно воспользоваться их значениями. Поэтому , , а так как , то , откуда

(3.3)

Из выражений (3.З) и (3.2) следует, что

(3.4)

т. е. угол отклонения лучей призмой тем больше, чем больше преломляющий угол призмы.

Из выражения (3.4) вытекает, что угол отклонения лучей призмой зависит от величины , а – функция длины волны, поэтому лучи разных длин волн после прохождения призмы окажутся отклоненными на разные углы, т. е. пучок белого света за призмой разлагается в спектр, что и наблюдалось И. Ньютоном. Таким образом, с помощью призмы, так же как и с помощью дифракционной решетки, разлагая в спектр, можно определить его спектральный состав.

Рассмотрим различия в дифракционном и призматическом спектрах.

I. Дифракционная решетка разлагает падающий свет непосредственно по длинам волн , поэтому по измеренным углам (по направлениям соответствующих максимумов) можно вычислить длину волны. Разложение света в спектр в призме происходит по значениям показателя преломления, поэтому для определения длины волны света надо знать зависимость .

II. Составные цвета в дифракционном и призматическом спектрах располагаются различно. Из следует, что в дифракционной решетке синус угла отклонения пропорционален длине волны. Следовательно, красные лучи, имеющие большую длину волны, чем фиолетовые, отклоняются дифракционной решеткой сильнее. Призма же разлагает лучи в спектр по значениям показателя преломления, который для вех прозрачных веществ с увеличением длины волны уменьшается (рис. 3.2). Поэтому красные лучи отклоняются призмой слабее, чем фиолетовые.

рис. 3.1 рис. 3.2

 

1. ПОЛНОЕ ОТРАЖЕНИЕ

Преломление и отражение. Согласно закону преломления света (2.8) отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных двух сред. Пусть в воде (показатель преломления ) находится источник света , освещающий поверхность раздела воды со средой с показателем преломления . Световой пучок, падающий перпендикулярно поверхности раздела сред, не претерпевает пре­ломления на границе раздела, но при этом небольшая часть энергии, порядка 2–4%, отражается обратно. Пучок, падающий на границу раздела под углом, также раздваивается – часть энергии отражается, часть энергии переходит во вторую среду (рис. 4.1). При этом согласно закону сохранения энергии сумма энергий отраженного и преломленного пучков равна энергии пучка, падающего на границу раздела двух сред:

(4.1)

Предельный угол полного отражения. Если свет переходит из оптически менее плотной среды в оптически более плотную ( ), то всегда существуют как отраженный, так и преломленный пучки, энергии которых соответствуют условию (4.1). Несколько иной результат получается при переходе света из оптически более плотной в оптически менее плотную среду ( ), например из воды в воздух или из стекла в воду.

Рис. 4.1

 

Если угол падения небольшой, то существуют оба пучка – как отраженный, так и преломленный. Если же угол падения возрастает, то энергия отраженного пучка резко возрастает, а преломленного – столь же сильно убывает. При некотором угле падения угол преломления , а энергия преломленного пучка падает до нуля. Следовательно, в соответствии с равенством (4.1) окажутся равными энергии отраженного и падающего пучка. Это явление называется полным отражением.

Найдем значение предельного угла , при котором преломленного пучка не будет. Этот угол в соответствии с законом преломления определяется так:

откуда

(4.2)

При угле падения, большем, чем предельный, пучок света, падающий на границу раздела, отражается от нее, как от зеркала. Преломленного пучка нет, свет полностью отражается от поверхности.

В том случае, когда свет выходит, например, из воды в воз­дух (для воздуха ), выражение (4.2) будет иметь вид:

(4.3)

Учитывая, что показатель преломления воды при комнатной температуре равен 1,33, получим значение предельного угла полного отражения для воды:

, или

Понятно поэтому, что для каждого вещества существует собственный предельный угол полного отражения. Чем больше оптическая плотность вещества (т. е. чем больше его показатель преломления), тем меньше этот угол. Для алмаза, показатель преломления которого равен 2,42, предельный угол равен 24°24'. Радуга. Все мы восхищаемся радугой – одним из красивейших явлений природы. Радуга поэтизировалась многими народами. Древние славяне считали, что во время грозы бог-громовержец поражает молниями злых духов. Радуга, возникающая после дождя с грозой, означала, по их мнению, торжество добрых сил, победивших зло.

И. Ньютон, изучавший спектры, выделил в радуге семь цветов, хотя, конечно, это довольно условно.

Чтобы объяснить, возникновение радуги, воспользуемся цветным рисунком. Пусть на каплю воды падает белый свет от Солнца под углом , близким к 90° (например, ). Преломляясь, белый свет благодаря дисперсии разложится в спектр. В самом деле, для красного света показатель преломления воды и угол преломления ; для синего и угол преломления . Разница невелика, но она есть – и это главное.

В верхней точке свет падает на границу раздела воды и воздуха под углом, близким к предельному, и потому большая часть энергии отражается внутрь воды, хотя часть света и выходит в воздух. То же самое происходит в нижней точке, но этот выходящий свет воспринимается глазом на фоне более темного неба. Так как капель очень много, то при определенных размерах капель, положении Солнца и наблюдателя видна яркая радуга, причем синий участок обычно расположен выше красного, что понятно из рисунка.

Волоконная оптика. На явлении полного отражения основано появление целого раздела оптики – волоконной оптики, в котором изучается формирование изображений при распространении света по световодам. Свет от источника распространяется по световодам, диаметр которых в зависимости от назначения колеблется от нескольких микрометров до миллиметров. В применяемом стеклянном волокне основная световедущая жила окружена оболочкой с меньшим показателем преломления. На границе раздела двух сред происходит полное отражение света. За счет этого световой пучок практически без потерь проходит от источника к освещаемой поверхности.

Применение различных устройств волоконной оптики очень широко: от техники до медицины. Например, одножильные световоды или жгуты из волокон уже много лет применяют для освещения внутренних поверхностей желудка, мочевого пузыря и других внутренних органов при диагностике и проведении операций. Такой прибор называется эндоскопом (от греч. ёndоn – внутри и skорео – смотрю). В технике световоды применяются для освещения недоступных мест, а также для передачи сигналов на большие расстояния. Модулируя световой пучок, идущий по световоду, можно по нему на значительные расстояния передавать информацию – речь, музыку, изображения, информацию от ЭВМ и т. п.

Потери энергии света при прохождении его через световод связаны большей частью с поглощением света в жиле. Поэтому высокопрозрачные световоды изготавливают из весьма чистых материалов. Основной метод этого производства – вытягивание световода из расплава кварцевого стекла; наружная оболочка из того же кварца легируется примесями, снижающими показатель преломления (бор, германий, фосфор).