Формула разложения.
Переход от изображения N(p)/M(p) к функции времени часто производят с помощью формулы [N(p)/M′(p)] = к-1∑m [N(pк)/M′(pк)] е-ркt ( 212 ) которую называют формулой разложения. Левая часть формулы является функцией р, правая часть — соответствующей ей функцией времени t. Вывод формулы можно осуществить следующим образом. Пусть изображение какой-либо функции времени, например тока, f(p) = i(p) = N(p)/M(p) ( 213 ) Для получения тока как функции времени i(t) представим сначала N(p)/ М(р) в виде суммы простых дробей , т.е. разложим N(p)/М(р). С этой целью в формуле (200) заменим х на р: f(p)= N(p)/M(p) = к-1∑m [N(pк)/M′(pк)][1/(р-рк)] ( 214 ) Перейдем от изображения к оригиналу. Оригиналом левой части является i(t). Оригинал правой части равен сумме оригиналов ее слагаемых. Учтем, что множители N(pk)/M′(pk) у слагаемых суммы правой части (214) есть постоянные числа (не функции р!). Кроме того, функциями р в правой части являются только множители 1/(р-рк); им соответствуют функции времени вида еркt (см. формулу (212)). Поэтому i(t) = к-1∑m [N(pк)/M′(pк)] еркt ( 215 ) Переход от изображения (функции р) к оригиналу (функции t) с помощью формулы разложения (215) основан на том, что изображение представлено в виде суммы простых дробей [N(pк)/M′(pк)][1/(р-рк)], а оригиналами их являются показательные функции [N(pк)/M′(pк)] еркt . Запишем формулу разложения при наличии кратных корней: Положим, что уравнение М(р) = 0 имеет q простых корней (р1,р2,...,рq), корень рr кратности r и корень ps кратности s. Тогда [N(p)/M′(p)] .=˙к-1∑q [N(pк)/M′(pк)]еркt +[1/(r-1)!]{[dr-1/dpr-1][ N(p)(p-pr)r ept/М(р)] }|p=pr + [1/(s-1)!]{[ds1/dps-1][ N(p)(p-ps)s ept/М(р)]}|p=ps ( 216 ) Число слагаемых [N(pк)/M′(pк)] еркt равно числу корней уравнения М(р) = 0. Коэффициенты N(pk)/М'(рк) можно сопоставить с постоянными интегрирования дифференциального уравнения (уравнений) цепи в классическом методе расчета. Если среди корней уравнения М(р) = 0 есть нулевой корень (р = 0), то ему в правой части уравнения (216) соответствует слагаемое [N(0)/M′(0)] еоt =[N(0)/M′(0)] .Слагаемое N(0)/ М'(р) представляет собой составляющую искомого тока (напряжения), обусловленную постоянными вынуждающими силами. Если постоянных вынуждающих сил в схеме нет, то N(0)/M′(0) = 0. Важно сделать некоторые замечания к формуле (216). 1.Формула разложения применима при любых начальных условиях и при любых практически встречающихся формах напряжения источника ЭДС или тока, воздействующего на схему. Если начальные условия не нулевые, то в состав N(p) войдут внутренние ЭДС. 2. Если уравнение М(р) = 0 имеет комплексно-сопряженные корни, то слагаемые, соответствующие им в формуле (216), оказываются также комплексно-сопряженными и в сумме дают действительное слагаемое. 3.Если воздействующая на схему ЭДС синусоидальна: Еm sin(ωt + ψ) и изображение ЭДС взято в виде Ėm[1/p-jω], где комплексная амплитуда Ėm= Еmеjφ , то при использовании формулы разложения из правой части ее для перехода от комплекса к мгновенному значению следует взять коэффициент при j (взять мнимую часть). В соответствии с этим внутренние ЭДС, которые появляются в правой части формулы разложения при ненулевых начальных условиях в цепях с синусоидальной ЭДС, должны быть умножены на коэффициент j. Умножить внутренние ЭДС нау необходимо потому, что только в этом случае наличие этих ЭДС будет учтено при взятии мнимой части ст правой части формулы разложения. В цепях с постоянной ЭДС внутренние ЭДС умножать на у. не нужно. 5. Если воздействующее на схему напряжение синусоидально, то принужденная составляющая решения входит в число слагаемых ∑[N(pк)/M′(pк)] еркt и определяется корнем р = jω. Вычисление принужденной составляющей в виде члена этой суммы, соответствующего корню р = jω , для сложных схем в большинстве случаев более громоздко, чем непосредственное вычисление ее с помощью символического метода. Поэтому для сложных схем переменного тока принужденную составляющую рекомендуется вычислять символическим методом. '' Мнимую, а не действительную часть из формулы разложения берут потому, что заданная ЭДС Im sin(ωt + ψ) есть мнимая часть комплекса Ėm= Еmеjφ (см. гл. 3). ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|