Здавалка
Главная | Обратная связь

Формула разложения.



Переход от изображения N(p)/M(p) к функции времени часто производят с помощью формулы

[N(p)/M′(p)] = к-1m [N(pк)/M′(pк)] е-ркt ( 212 )

которую называют формулой разложения.

Левая часть формулы является функцией р, правая часть — соответ­ствующей ей функцией времени t.

Вывод формулы можно осуществить следующим образом. Пусть изоб­ражение какой-либо функции времени, например тока,

f(p) = i(p) = N(p)/M(p) ( 213 )

Для получения тока как функции времени i(t) представим сначала

N(p)/ М(р) в виде суммы простых дробей , т.е. разложим N(p)/М(р). С этой целью в формуле (200) заменим х на р:

f(p)= N(p)/M(p) = к-1m [N(pк)/M′(pк)][1/(р-рк)] ( 214 )

Перейдем от изображения к оригиналу. Оригиналом левой части является i(t). Оригинал правой части равен сумме оригиналов ее слага­емых.

Учтем, что множители N(pk)/M′(pk) у слагаемых суммы правой части (214) есть постоянные числа (не функции р!). Кроме того, функ­циями р в правой части являются только множители 1/(р-рк); им со­ответствуют функции времени вида еркt (см. формулу (212)). Поэтому

i(t) = к-1m [N(pк)/M′(pк)] еркt ( 215 )

Переход от изображения (функции р) к оригиналу (функции t) с помощью формулы разложения (215) основан на том, что изображение представлено в виде суммы простых дробей [N(pк)/M′(pк)][1/(р-рк)], а оригиналами их являются показательные функции [N(pк)/M′(pк)] еркt .

Запишем формулу разложения при наличии кратных корней: Поло­жим, что уравнение М(р) = 0 имеет q простых корней (р12,...,рq), корень рr кратности r и корень ps кратности s. Тогда

[N(p)/M′(p)] .=˙к-1q [N(pк)/M′(pк)]еркt +[1/(r-1)!]{[dr-1/dpr-1][ N(p)(p-pr)r ept/М(р)] }|p=pr

+ [1/(s-1)!]{[ds1/dps-1][ N(p)(p-ps)s ept/М(р)]}|p=ps ( 216 )

Число слагаемых [N(pк)/M′(pк)] еркt равно числу корней уравнения

М(р) = 0. Коэффициенты N(pk)/М'(рк) можно сопоставить с постоян­ными интегрирования дифференциального уравнения (уравнений) цепи в классическом методе расчета.

Если среди корней уравнения М(р) = 0 есть нулевой корень (р = 0), то ему в правой части уравнения (216) соответствует слагаемое

[N(0)/M′(0)] еоt =[N(0)/M′(0)] .Слагаемое N(0)/ М'(р) представляет собой составляющую искомого тока (напряжения), обусловленную постоянными вынуждающими силами. Если постоянных вынуждающих сил в схеме нет,

то N(0)/M′(0) = 0.

Важно сделать некоторые замечания к формуле (216).

1.Формула разложения применима при любых начальных условиях и при любых практически встречающихся формах напряжения источни­ка ЭДС или тока, воздействующего на схему.

Если начальные условия не нулевые, то в состав N(p) войдут внут­ренние ЭДС.

2. Если уравнение М(р) = 0 имеет комплексно-сопряженные корни, то слагаемые, соответствующие им в формуле (216), оказываются так­же комплексно-сопряженными и в сумме дают действительное слагаемое.

3.Если воздействующая на схему ЭДС синусоидальна: Еm sin(ωt + ψ)

и изображение ЭДС взято в виде Ėm[1/p-jω], где комплексная амплитуда

Ėm= Еmеjφ , то при использовании формулы разложения из правой части ее для перехода от комплекса к мгновенному значению следует взять коэффициент при j (взять мнимую часть). В соответствии с этим внутренние ЭДС, которые появляются в правой части формулы разложе­ния при ненулевых начальных условиях в цепях с синусоидальной ЭДС, должны быть умножены на коэффициент j.

Умножить внутренние ЭДС нау необходимо потому, что только в этом случае наличие этих ЭДС будет учтено при взятии мнимой части ст пра­вой части формулы разложения. В цепях с постоянной ЭДС внутренние ЭДС умножать на у. не нужно.

5. Если воздействующее на схему напряжение синусоидально, то при­нужденная составляющая решения входит в число слагаемых

∑[N(pк)/M′(pк)] еркt и определяется корнем р = jω. Вычисление принужден­ной составляющей в виде члена этой суммы, соответствующего корню р = jω , для сложных схем в большинстве случаев более громоздко, чем непосредственное вычисление ее с помощью символического метода. Поэтому для сложных схем переменного тока принужденную составляю­щую рекомендуется вычислять символическим методом.

'' Мнимую, а не действительную часть из формулы разложения берут потому, что за­данная ЭДС Im sin(ωt + ψ) есть мнимая часть комплекса

Ėm= Еmеjφ (см. гл. 3).







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.