Теорема: ТЕОРЕМА АБЕЛЯ. ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
1) Если степенной ряд сходится в точке , то он абсолютно сходится при всяком х, для которого справедливо неравенство . 2) Если же степенной ряд расходится при , то он расходится при всяком х, для которого . Доказательство. 1) По условию степенной ряд сходится в точке , т. е. сходится числовой ряд (1) и по необходимому признаку сходимости («А что это за признак, помните?») его общий член стремится к 0, т.е. . Следовательно, существует такое число , что все члены ряда ограничены этим числом: . Рассмотрим теперь любое х, для которого , и составим ряд из абсолютных величин: (А зачем? Читайте дальше.) . Из неравенства получаем , т.е. ряд (3) состоит из членов, которые больше соответствующих членов ряда (2). Ряд представляет собой сходящийся ряд геометрической прогрессии со знаменателем , причём , так как . СЛЕДОВАТЕЛЬНО (устроюсь работать следователем), ряд (2) сходится при . Таким образом, степенной ряд абсолютно сходится. 2) Пусть ряд расходится при , иными словами, расходится числовой ряд . Докажем, что для любого х ( ) ряд расходится. Доказательство ведётся от противного. Пусть при некотором фиксированном ( ) ряд сходится, тогда он сходится при всех (это следует из первой части данной теоремы), в частности, при , что противоречит условию 2) теоремы 1. Теорема доказана.(Да-да. Вот так быстро. Советую перечитать пару раз этот пункт) Следствие. Теорема Абеля позволяет судить о расположении точки сходимости степенного ряда. Если точка является точкой сходимости степенного ряда, то интервал заполнен точками сходимости; если точкой расходимости является точка , то Рис. 1. Интервалы сходимости и расходимости ряда Можно показать, что существует такое число , что при всех степенной ряд абсолютно сходится, а при − расходится. Будем считать, что если ряд сходится только в одной точке 0, то , а если ряд сходится при всех , то . Определение4. Интервалом сходимости степенного ряда называется такой интервал , что при всех этот ряд сходится и притом абсолютно, а для всех х, лежащих вне этого интервала, ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда. Замечание. На концах интервала вопрос о сходимости или расходимости степенного ряда решается отдельно для каждого конкретного ряда.
А теперь научимся определять интервал и радиус сходимости степенного ряда. Рассмотрим степенной ряд и обозначим . Составим ряд из абсолютных величин его членов: и применим к нему признак Даламбера. Пусть существует , где . По признаку Даламбера ряд сходится, если , и расходится, если . Отсюда ряд сходится при , тогда интервал сходимости: . При ряд расходится, так как . Используя обозначение , получим формулу для определения радиуса сходимости степенного ряда: , где − коэффициенты степенного ряда. Если окажется, что предел , то полагаем . Для определения интервала и радиуса сходимости степенного ряда также можно использовать радикальный признак Коши, радиус сходимости ряда определяется из соотношения . Определение 5. Обобщенным степенным рядом называется ряд вида . Его также называют рядом по степеням . Покажем, как находится радиус сходимости для обобщенного степенного ряда. , т.е. , где . Если , то , и область сходимости R; если , то и область сходимости . Пример 2. Найти область сходимости ряда . Решение. Обозначим . Составим предел . Решаем неравенство: , , следовательно, интервал сходимости имеет вид: , причём R = 5. Дополнительно исследуем концы интервала сходимости: Ответ: область сходимости . Пример 3. Ряд расходится для всех , так как при , радиус сходимости . Пример 4. Ряд сходится при всех R, радиус сходимости . ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|