Условия применения рядов Тейлора.Стр 1 из 3Следующая ⇒
16-17. Степенной ряд есть функциональный ряд с общим членом fn (y) = an( y – y0 )n (n = 0, 1, 2, …) (an — действительные числа): an( y – y0 )n = a0 + a1( y – y0 ) + a2( y – y0 )2 + … + an( y – y0 )n + … Действительное число y0 называется центром степенного ряда. Заменой переменного x = y – y0 этот степенной ряд преобразуется в степенной ряд an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + … + an xn + … с нулевым центром. В дальнейшем ограничимся исследованием рядов именно такого вида. Существуют степенные ряды, которые а) сходятся при всех x (всюду сходящиеся степенные ряды), например ; б) сходятся только при x = 0, например n! xn; в) для некоторых x ≠ 0 сходятся, для других расходятся, например xn. Свойства степенных рядов.
Для вычисления радиуса сходимости используется теорема Коши – Адамара: радиус r сходимости ряда an xn равен обратной величине верхнего предела последовательности { }: r = (при этом r = ∞, если = 0, и r = 0, если = ∞). Верхний предел r числовой последовательности {bn} есть верхняя граница «сгущения» последовательности, т. е. для любого ε > 0 существует только конечное число индексов n таких, что bn > r + ε, но для бесконечного числа n справедливо неравенство bn > r – ε. Если для любого действительного числа C имеется бесконечное множество индексов n таких, что bn > C, то говорят, что верхний предел равен + ∞; если напротив, имеется только конечное число индексов n таких, что bn > C, то говорят, что верхний предел равен – ∞. Верхний предел существует всегда. Если существует , то = . Радиус сходимости r степенного ряда an xn может быть вычислен также при помощи признака Даламбера: если существует предел = q, то r = (r = ∞ при q = 0 и r = 0 при q = ∞).
f (x) = bn( x – x1 )n, где bn = an + m( x – x1 )m. При этом все ряды, которые представляют bn, сходятся (см. свойство 4), а для радиуса сходимости r1 нового ряда справедливо неравенство r1 ≥ r – | x – x0 |.
f (x) = an rn. Если степенной ряд сходится при x = – r, то сумма f (x) при x = – r непрерывна справа (теорема Абеля о предельном значении). б) Степенной ряд an xn всегда можно почленно интегрировать на отрезке [0, x1], где | x1 | < r: f (t) dt = an tn dt = an ; при этом x1 может совпадать с одним из концов интервала сходимости, если степенной ряд сходится в этой точке. в) Степенной ряд an xn внутри его интервала сходимости можно почленно дифференцировать: f ' (x) = an = n an xn – 1. Это утверждение верно также и для концов интервала сходимости, если ряд n an xn – 1 сходится в этих точках. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно дифференцировать любое число раз: f (k) (x) = an xn – k = k! an + k xn.
а) Если f (x) = an xn и g (x) = bn xn, то для любого x, являющегося внутренней точкой интервалов сходимости обоих рядов, можно построить сходящиеся ряды f (x) ± g (x) = (an ± bn) xn , f (x) · g (x) = am bm – n xn. б) Пусть g (x) — сумма степенного ряда с радиусом сходимости r : g (x) = bn xn, а f (u) — сумма степенного ряда с радиусом сходимости r' : f(u) = an un. Тогда F (x) = f (g (x)) снова есть сумма некоторого степенного ряда: F (x) = cn xn — по крайней мере для тех x, для которых ряд |bn xn| сходится и имеет сумму, меньшую, чем r'. Коэффициенты cn вычисляются при помощи рядов: cn = am bmn которые абсолютно сходятся при условии, что | b0 | < r', где (g (x))k = bkn xn. Другими словами, чтобы получить степенной ряд F (x), можно подставить u = bnxn в степенной ряд an un и привести подобные члены. в) Если функция f (x) в окрестности нулевой точки есть сумма степенного ряда an xn и f (0) – a0 ≠ 0, то функция в окрестности нулевой точки есть сумма некоторого степенного ряда cn xn; так как для малых x оба ряда сходятся, то 1 = · f (x) = am cn – m xn, и согласно теореме о единственности разложения функции в степенной ряд выполняются соотношения 1 = a0 c0, 0 = am cn – m при n ≥ 1; отсюда можно найти cn. Точно так же можно представить отношение двух функций g/f, являющихся суммами степенных рядов, как сумму степенного ряда cn xn в некоторой окрестности нуля, если a0 = f (0) ≠ 0. Коэффициенты cn вычисляются из соотношения = cn xn или bn xn = an xn cn xn , т. е. из системы bn = am cn – m для n = 0, 1, 2, … 18.Ряд Тейлора в окрестности точки a имеет виды: 1) , где f(x) - функция, имеющая при х=а производные всех порядков. Rn - остаточный член в ряде Тейлора определяется выражением 2) k-тый коэффициент (при хk) ряда определяется формулой 3) Частным случаем ряда Тейлора является ряд Маклорена (=Макларена) (разложение происходит вокруг точки а=0) при a=0 члены ряда определяются по формуле Условия применения рядов Тейлора. 1. Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Тейлора на интервале (-R;R) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора (Маклорена (=Макларена)) для данной функции стремился к нулю при k→∞ на указанном интервале (-R;R). 2. Необходимо чтобы существовали производные для данной функции в точке, в окрестности которой мы собираемся строить ряд Тейлора. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|