 |
|
Функции, отношения и множества
Введем обозначения.
R – множество действительных чисел.
X e R – элемент X принадлежит множеству R.
Равные множества – множества, состоящие из одинаковых элементов.
A = B – множество А равно множеству B.
0 – пустое множество.
A<= C – Множество А является подмножеством множества С.
Если А не равно С и А <= C, то А < С. (строго).
Если A <= C и C <= А, то А = С.
Пустое множество 0 является подмножеством любого множества.
Существуют конечные и бесконечные множества. Пусть n – число элементов данного множества А. Это число называется мощностью данного множества.
У множества рациональных чисел мощность является счетной (т.е. все элементы можно пронумеровать).
У множества иррациональных чисел мощность – континиум. Обозначается (С).
Основное правило комбинаторики (показано на примере)
Пусть имеется палочка, разделенная на 3 части. Первую ее часть можно раскрасить n способами, вторую – m, третью – k. Всего способов раскраски палочки – n*m*k.
Аналогично с множествами U = {a1,a2… an-1, an}
Пусть U = {a1, a2, a3} Выпишем множество всех подмножеств множества U.
P(U) = {0, a1, a2, a3, a1a2, a1a3, a2a3, a1a2a3}. Мощность множества U равна 3, а мощность P(U) равна 8.
Методом математической индукции доказывается, что при произвольной мощности n множества U, мощность множества P(U) равна 2n.
Операции над множествами
Определение. Объединением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств А и В.
Обозначается С = А U В.
Геометрическое изображение множеств в виде области на плоскости называется диаграммой Эйлера — Вэйна.
А
В
Геометрическое изображение множеств в виде области на плоскости называется диаграммой Эйлера — Вэйна.
Определение. Пересечением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат каждому из множеств А и В. Обозначение С = А ∩ В.
Определение. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В. Обозначается: С = А \ В.
Дополнение множества А. (С = А ) – не А. Все элементы, принадлежащие универсальному множеству, не принадлежат множеству А.
Свойства операций над множествами.
1. A U B = B U A – коммутативность. A n B = B n A
2. (A U B) U C = A U (B U C), A n (B n C) = (A n B) n C – ассоциативность.
3. (A U B) n C = (A n C) u (B n C), (AnB) U C = (A U C) n (B U C) – дистрибутивность.
4. Поглощение A U A = A, A n A = A.
5. Существование универсальных границ. А U 0 = A A n 0 = 0 A u U = U A n U = A
6. Двойное дополнение A = A
7. A U A = U A n A = 0
8. Законы двойственности или закон Де – Моргана (AUB) = A n B (AnB) = A U B
Логика
LOGOS (греч.) - слово, понятие, рассуждение, разум.
Слово «логика» обозначает совокупность правил, которым подчиняется процесс мышления.
Основными формами абстрактного мышления являются: понятия, суждения, умозаключения.
Понятие - форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного предмета или класса однородных предметов (трапеция, дом).
Суждение - мысль, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах (весна наступила, и грачи прилетели).
Умозаключение - прием мышления, посредством которого из исходного знания получается новое знание (все металлы - простые вещества).
Логика (формальная) - наука о законах и формах правильного мышления.
Математическая логика - изучает логические связи и отношения, лежащие в основе логического (дедуктивного) вывода.