Учет начальных условий. Траектория выхода на магистраль
Если заданное начальное условие фондовооруженности предприятия совпадает с начальным значением уравнения магистрали то есть , тогда полученное уравнение магистрали (П.3.12) есть уравнение оптимального развития экономической модели предприятия. Однако часто условие не выполняется, обычно то есть начальное условие фондовооруженности не лежит на магистрали, а находится ниже точки В этом случае для выхода на магистраль (П.3.12), на которой обеспечивается максимум интегрального среднедушевого непроизводственного потребления, приходится сначала ограничивать среднедушевое потребление необходимым минимумом , чтобы увеличить инвестиции, нарастить фондовооруженность и выйти на магистраль.
Рис. П.4.1. Траектория выхода на магистраль На рис. П.4.1 эта траектория выхода на магистраль показана зависимостью g на участке времени t = 0 ¸ t1, где t1 – время выхода на магистраль, после которого следует установить u = uon. На участке выхода на магистраль t = 0 ¸ t1 управление u = u1 < uon Функция g является решением дифференциального уравнения нормированной однопродуктовой модели предприятия при фиксированном значении управления u1 и соответствующим заданным краевым условием . Перепишем это уравнение в виде: где Введем новую переменную где - коэффициент эластичности по труду. Тогда откуда Подставим это выражение в исходное уравнение и получим: . Разделив левую и правую части на получим: Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Общее решение его равно сумме где - общее решение однородного дифференциального уравнения (при нулевой правой части) вида где - частотное решение неоднородного дифференциального уравнения. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид: , где - константа, подлежащая определению, - корень характеристического уравнения откуда Тогда Частотное решение имеет вид: где B – коэффициент, который определим из исходного дифференциального уравнения. Для этого найдем производную и подставим ее в исходное дифференциальное уравнение, в результате получим Разделим обе части на и определим коэффициент Так как то , тогда уравнение траектории выхода на магистраль будет определяться из соотношения (П.4.1) Константу найдем из граничного условия откуда (П.4.2) Время выхода на магистраль t1 определяется из уравнения где определяется при t = t1, а - из полученного соотношения (П.4.1) при t = t1. После подстановки получим:
Возведем левую и правую части в степень и получим: Помножим левую и правую части на и получим: откуда
Возьмем от левой и правой части логарифм ln и окончательно получим формулу для расчета времени выхода на магистраль t1 , (П.4.3) где константа определяются по выражению (П.4.2). Если при заданном u1 окажется, что t1 < T , то задача выхода на магистраль может быть решена. В противном случае при t1 > T выход на магистраль за отведенное время управления T невозможен. В этом случае нужно либо уменьшить величину u1, либо отказаться от мечты выйти на магистраль в течении времени T. Если время выхода на магистраль t1 < T , то управление предприятием осуществляется по графику, приведенному на рис. П.4.2. Рис. П.4.2. График управления предприятием при выходе на магистраль и на магистрали Приведем пример расчета управления предприятием, выпускающим продукцию на интервале времени t = 0 ¸ 21 год. Начальное состояние предприятия: начальный капитал K(0) = 204,2 (млн. руб.), среднее число работающих на предприятии за год L(0) = 109 (чел.). Тогда фондовооруженность на нулевой год составит: (млн. руб. на 1 чел.) Руководство предприятия хочет обеспечить максимум следующей целевой функции где C – непроизводственное потребление за год. Параметры нормированной производственной функции Кобба-Дугласа следующие: Параметры, входящие в уравнение магистрали следующие: Подставим приведенные значения в уравнение магистрали и получим Проверим, совпадает ли эта магистраль с начальным значением фондовооруженности предприятия k(0) = 1,868 (млн. руб. на 1 чел.). Для этого подставим в уравнение магистрали t = 0 и получим kоп(0) = 4,306. Оказалось, что k(0) < kоп(0), следовательно уравнение магистрали не согласуется с начальным значением фондовооруженности предприятия. Формула для расчета оптимальной доли средств, идущих на непроизводственное потребление, имеет вид: Подставим в нее численные значения параметров и получим: Так как магистраль не совпадает с начальным условием по фондовооруженности, причем k(0) > kоп(0), то доля непроизводственного потребления не может быть установлена на всем интервале управления t = 0 ¸ 21 год. Определим время выхода на магистраль t1 при установленной доле непроизводственного потребления по формуле
где
При указанных выше параметрах результат вычисления по этой формуле дает следующий результат: t1 = 2,2477 » 2,25 года. Тогда на интервале времени t = 0 ¸ t1 управление u = u1 = 0,5, а на интервале времени t = 2,25 ¸ 21 год u = uon = 0,844.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|