 |
|
Формула полной вероятности и формула Байеса: примеры решений задач
Если событие 
может наступить только при появлении одного из несовместных событий (гипотез) 
, то вероятность события вычисляется по формуле полной вероятности: 
, где 
- вероятность гипотезы 
, 
- условная вероятность события при выполнении гипотезы ( 
.
Проиллюстрируем формулу полной вероятности на графе с выделенной вершиной:
Рис. 17
Полная вероятность события равна весу всего вероятностного графа с гипотезами.
С формулой полной вероятности тесно связана формула Байеса. Если до опыта вероятности гипотез были 
, 
, ..., 
, а в результате опыта появилось событие , то с учетом этого события "новые", т.е. условные вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса
Формула Байеса дает возможность "пересмотреть" вероятность гипотез с учетом наблюдавшегося результата опыта. Условная вероятность 
может находиться как отношение веса ветви, проходящей через вершину, соответствующую гипотезе 
, к весу всего вероятностного графа.
Пример 31. На заводе, изготовляющем болты, первая машина производит 25%, вторая - 35%, третья - 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2%.
а) Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный?
б) Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен первой, второй, третьей машиной?
Решение. Пусть событие = {выбрать дефектный болт}.
Выдвигаем три гипотезы:
={болт изготовлен первой машиной}, =0,25, 
=0,05;
={болт изготовлен второй машиной}, =0,35, 
=0,04;
={болт изготовлен третьей машиной}, 
=0,4, 
=0,02.
Рис. 18
а) 
б) 
Пример 32. Студент подготовил к экзамену 20 билетов из 25. В каком случае шансы взять известный билет больше - когда студент пришел на экзамен первым или вторым?
Решение. 
Найдем вероятность 
взять известный билет, придя на экзамен вторым, учитывая, что первый может взять как известный, так и неизвестный второму билет.
Рис. 19
Пример 33. Наудачу выбираем колоду, а из нее карту. В каком случае вероятность достать туз больше: если выбирать карту из двух колод, содержащих по 32 и 52 карты, или выбирать карту из трех колод в 36 карт и одной в 52?
Решение. Пусть событие 
= { достать туз}.
Рис. 20
, следовательно, в первом случае вероятность достать туз меньше, чем во втором.
Пример 34. В каждой из трех урн содержится по одному белому и одному черному шару. Из первой урны во вторую переложили один шар, из второй пополненной урны в третью тоже переложили один шар, а затем из третьей урны наудачу извлекли один шар. Какова вероятность извлечь белый шар из третьей пополненной урны?
Решение.
Рис. 21
Какие гипотезы использовались в решении этой задачи?
Пример 35. Предположим, что 5 мужчин из 100 и 25 женщин из 10000 являются дальтониками. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность, что это мужчина?
Решение.
Рис. 22
