 |
|
Элементы комбинаторики
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Брянский государственный технический университет
 |
Теория вероятностей
И математическая статистика
Сборник задач
Утверждено редакционно-издательским советом
университета в качестве учебного пособия
Брянск
ИЗДАТЕЛЬСТВО БГТУ
УДК 511
Горелёнков, А.И. Теория вероятностей и математическая статистика: Сборник задач / А.И. Горелёнков, В.М. Кобзев, А.П. Мысютин – Брянск: БГТУ, 2007. – 78 с.
ISBN 589838-280-1
Представлены задачи по основным разделам теории вероятностей и математической статистики.
Учебное пособие предназначено для студентов технических специальностей вузов.
Табл. 2. Библиогр. – 10 назв.
Научный редактор Н.А. Ольшевская, Э.К. Фёдорова
Рецензенты: кафедра «Математика и моделирование экономических систем» БГУ им. И.Г. Петровского; доцент, к. ф.-м. н. Е.Л. Самаров
ISBN 589838-280-1 Ó Брянский государственный
технический университет, 2007
Предисловие
Настоящий сборник представляет собой систематизированную подборку задач по теории вероятностей и математической статистике. Все задачи снабжены ответами. В начале каждого параграфа приведены основные теоретические сведения и формулы, необходимые для решения задач.
Представленный сборник продолжает традицию задачников по теории вероятностей, издававшихся кафедрой высшей математики БГТУ (БИТМ) [4, 5, 9]. Данное издание является переработкой последнего из этих задачников. Добавлено много задач, составлены параграфы «Элементы комбинаторики», «Закон больших чисел», включена новая тема «Элементы математической статистики».
Список литературы, приведенный в конце сборника, указывает основные источники, которыми пользовались авторы.
Большую помощь в подборе задач оказали преподаватели кафедры «Высшая математика» Н.В. Лозинская, Н.А. Ольшевская, Н.Л. Порошина, которым авторы выражают благодарность.
Авторы будут признательны всем, заметившим недостатки данного издания и внесшим предложения по его улучшению.
ВВЕДЕНИЕ
В природе, технике и экономике нет явлений, в которых не присутствовали бы элементы случайности. Существуют два подхода к изучению этих явлений. Один из них, классический или «детерминистский», состоит в том, что выделяются основные факторы, определяющие данное явление, а влиянием множества остальных, второстепенных факторов, приводящим к случайным отклонениям от результата, пренебрегают.
Другой подход к изучению явлений состоит в том, что элемент неопределенности, свойственный случайным явлениям и обусловленный второстепенными факторами, требует специальных методов их изучения. Разработкой таких методов, изучением специфических закономерностей, наблюдаемых в случайных явлениях, и занимается теория вероятностей.
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Математическая статистика – раздел математики, изучающий математические методы сбора, систематизации, обработки и интерпретации результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей. Математическая статистика опирается на теорию вероятностей.
Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, появились в XVI – XVII вв. Они принадлежали Д. Кардано, Б. Паскалю, П. Ферма, Х. Гюйгенсу и др. и представляли попытки создания теории азартных игр с целью дать рекомендации игрокам. Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба Бернулли (1654 – 1705). Доказанная им теорема, названная впоследствии «законом больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов.
Дальнейшее развитие теории вероятностей приходится на
XVII – XIX вв. благодаря работам А. Муавра, П. Лапласа, К. Гаусса, С. Пуассона и др. Новый, наиболее плодотворный период развития «математики случайностей» связан с именами русских математиков П.Л. Чебышева, А.А. Маркова и А.М. Ляпунова (XIX – начало XX в.). В этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой.
Большой вклад в последующее развитие теории вероятностей и математической статистики внесли российские математики С.Н. Бернштейн, В.И. Романовский, А.Н. Колмогоров, А.Я. Хинчин, Ю.В. Линник, Б.В. Гнеденко, Н.В. Смирнов. Ю.В. Прохоров и др., а также ученые англо-американской школы Стьюдент (псевдоним В. Россета), Р. Фишер, Э. Пирсон, Е. Нейман, А. Вальд и др.
Широкому внедрению математико-статистических методов исследования способствовало появление во второй половине XX в. электронных вычислительных машин. Статистические программные пакеты сделали эти методы более доступными и наглядными, так как трудоемкую работу по расчету различных статистик, параметров, характеристик, построению таблиц и графиков в основном стал выполнять компьютер, а исследователю осталось главным образом творческая работа: постановка задачи, выбор методов ее решения и интерпретация результатов.
Изучение студентами основ теоретико-вероятностных методов является целью данного пособия.
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
Элементы комбинаторики
Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m+n способами.
Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами, и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана mn способами.
Размещениемk элементов из n элементов называется упорядоченная выборка (либо расположение в определённом порядке) k из этих элементов.
Число размещений из n различных элементов по k элементов без повторений вычисляется по формуле 
.
Число размещений из n различных элементов по k элементов с неограниченными повторениями определяется равенством 
.
Размещения из n различных элементов по n элементов называются перестановками.
Число перестановок из n различных элементов вычисляется по формуле 
.
Число перестановок с повторениями из n элементов, спецификация которых 
, определяется равенством
, где 
.
Сочетаниемk элементов из n элементов называется выборка k из них без учёта порядка.
Число сочетаний из n различных элементов по k элементов без повторений вычисляется по формуле 
.
Число сочетаний из n различных элементов по k элементов с неограниченными повторениями определяется равенством 
.
1.1. Сколькими способами можно выбрать три различные краски из имеющихся пяти?
1.2. У одного человека есть 7 книг по математике, а у другого –
9 книг. Сколькими способами они могут обменять одну книгу одного на книгу другого?
1.3. В профком избрано 9 человек. Из них нужно выбрать председателя, заместителя, культорга и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?
1.4. На диск секретного замка нанесены 10 букв, а секретное слово состоит из 5 букв. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим пароля?
1.5. Сколькими способами можно составить трёхцветный полосатый флаг, одна из полос которого должна быть красной, если имеется материал пяти различных цветов?
1.6. Сколькими различными способами можно выполнить групповой портрет пяти человек, если поставить: а) их в один ряд; б) трёх человек в первом ряду и двух – во втором?
1.7. Сколькими способами можно расселить девять студентов в трёх комнатах, рассчитанных на трёх человек каждая?
1.8. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 коня, 2 слона, 2 ладьи, ферзя и короля) на первой линии шахматной доски?
1.9. Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если каждая из них может повторяться несколько раз?
1.10. В почтовом отделении продаются открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить в нём: а) 8 открыток;
б) 8 различных открыток?
1.11. Номера состоят из двух букв и трёх цифр. Найти число таких номеров, если используются 32 буквы русского алфавита.
1.12. Сколько различных вариантов хоккейной команды можно составить из 9 нападающих, 5 защитников и 3 вратарей, если в состав команды должны войти 3 нападающих, 2 защитника и 1 вратарь?
1.13. Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы цифры не повторялись и крайние цифры были чётными?
1.14. Из 10 разных цветков нужно составить букет так, чтобы в него входило не менее 5 цветков. Сколько различных способов существует для составления такого букета, учитывая, что число цветков должно быть нечётным?
1.15. Сколько различных четырёхзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
1.16. В клубе велосипедистов при перерегистрации членских билетов из суеверия перестали использовать цифру 8. Сколько членов было в клубе, если известно, что использованы все трёхзначные номера, не содержащие ни одной 8?
1.17. У одного человека есть 7 книг по математике, а у другого – 9 книг. Сколькими способами они могут обменять 2 книги одного на 2 книги другого?
1.18. Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если каждая цифра входит в состав числа только один раз?
1.19. В колоде 36 карт, из них 4 туза. Сколькими способами можно вынуть 6 карт так, чтобы среди них было 2 туза?
1.20. Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы в каждом числе содержалась цифра 1 (цифры в числе не должны повторяться)?