 |
|
Эти задачи можно не включать
Задача №1
Интегральная функция распределения F(x) непрерывной случайной
величины задана следующим образом.
Найти плотность распределения этой случайной величины, вычислить числовые характеристики
распределения и построить графики функции распределения и плотности распределения.
Решение.
Задача №2
По данным выборочного обследования получено следующее распределение семей по среднедушевому доходу:
| Среднедушевой доход семьи в месяц (у.е.) | до 25 | 25-50 | 50-75 | 75-100 | 125-150 | 150-175 | 175 и выше |
| Количество обследованных семей |
Постройте гистограмму распределения частот. Найдите среднедушевой доход семьи в выборке,
дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Объясните полученные результаты.
Решение.
| Среднедушевой доход семьи в месяц (у.е.) | Количество обследованных семей | Середины интервалов | 
| 
|
| 0-25 | 12,5 | 192024,8 | ||
| 25-50 | 37,5 | 370272,7 | ||
| 50-75 | 62,5 | 53363,03 | ||
| 75-100 | 87,5 | 18999,57 | ||
| 125-150 | 137,5 | 371989,1 | ||
| 150-175 | 162,5 | 568733,3 | ||
| 175-200 | 187,5 | 146231,4 | ||
| Сумма | - |
Задача №2
С целью изучения размеров дневной выручки в сфере мелкого частного бизнеса была произведена
10%-ая случайная бесповторная выборка из 1000 торговых киосков города. В результате были получены
данные о средней дневной выручке, которая составила 500 у.е. В каких пределах с
доверительной вероятностью 0,95 может находиться средняя дневная выручка всех торговых
точек изучаемой совокупности, если среднее квадратическое отклонение составило 150 у.е.?
Решение.
N=1000, 
, 
Задача №1
Под руководством бригадира производственного участка работают 3 мужчин и 4 женщины.
Бригадиру необходимо выбрать двух рабочих для специальной работы. Не желая оказывать
кому-либо предпочтения, он решил выбрать двух рабочих случайно. Составьте ряд распределения
числа женщин в выборке. Найдите числовые характеристики этого распределения.
Какова вероятность того, что будет выбрано не более одной женщины?
Решение.
Гипергеометрический закон
| X – число женщин в выборке | |||
| P(X=m) | 0,1429 | 0,5714 | 0,2857 |
Задача №1
На рынке представлено 8 различных пакетов программ для бухгалтерии с приблизительно
равными возможностями. Для апробации в своих филиалах фирма решила отобрать 3 из них.
Сколько существует способов отбора 3 программ из 8, если отбор осуществлен в случайном порядке?
Какова вероятность того, что среди отобранных случайно окажутся 3 программы, занимающие
наименьший объем памяти?
Решение.
А – отобраны программы, занимающие наименьший объем памяти
Задача №2
Для оценки состояния деловой активности промышленных предприятий различных форм
собственности были проведены выборочные бизнес-обследования и получены следующие результаты:
| Интервалы значений показателя деловой активности (в баллах) | 0 - 8 | 8 - 16 | 16 - 24 | 24 - 32 |
| Число предприятий (акционерные общества открытого типа) |
Построить гистограмму распределения частот. Найти среднее значение показателя деловой активности,
дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Объяснить полученные результаты.
Решение.
| Число предприятий (акционерные общества открытого типа) | Середины интервалов |
|
|
| 940,9 | |||
| 43,35 | |||
| 317,52 | |||
| 1022,45 | |||
| 2324,22 |
Задача №1
При слиянии акционерного капитала двух фирм аналитики фирмы, получающей контрольный
пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью равной 0,65, если председатель
совета директоров поглощаемой фирмы выйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха равна 0,3
Предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0,7. Чему равна вероятность успеха сделки?
Решение.
А – сделка принесет успех
| Гипотезы Hi | P(Hi) | P(A/Hi) | P(Hi) P(A/Hi) |
| H1 - председатель совета директоров выйдет в отставку | 0,7 | 0,65 | 0,455 |
| H2- председатель совета директоров не выйдет в отставку | 1-0,7=0,3 | 0,30 | 0,09 |
| Итого: | - | Р(А) = 0,545 |
Задача №2
Найдите вероятность того, что стандартная нормально распределенная случайная величина
будет больше, чем - 2,33.
РЕШЕНИЕ.
 |
0,9901
Задача №1
На химическом заводе установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация,
звуковой сигнал срабатывает с вероятностью 0,95. Звуковой сигнал может сработать случайно и без
аварийной ситуации с вероятностью 0,02. Реальная вероятность аварийной ситуации равна 0,004.
Предположим, что звуковой сигнал сработал. Чему равна вероятность реальной аварийной ситуации?
Решение.
А – сработал звуковой сигнал
| Гипотезы Hi | P(Hi) | P(A/Hi) | P(Hi) P(A/Hi) |
| H1 – аварийная ситуация | 0,004 | 0,95 | 0,0038 |
| H2- безаварийная ситуация | 1-0,004=0,996 | 0,02 | 0,01992 |
| Итого: | - | Р(А) = 0,02372 |
Задача №2
При выборочном опросе 1200 телезрителей оказалось, что 456 из них регулярно смотрят программы
телеканала НТВ. Постройте 99% доверительный интервал, оценивающий долю всех телезрителей,
предпочитающих программы телеканала НТВ.
Решение
n=1200, m=456, 
Задача №2
Найдите вероятность того, что стандартная нормально распределенная случайная величина
будет иметь значения между 2 и 3.
РЕШЕНИЕ.
0,0215
25
Задача №1
Предположим, что в течение года цена на акции компании «Восток» есть случайная величина,
подчиняющаяся нормальному закону распределения с математическим ожиданием 40 у.е.
и среднеквадратическим отклонением, равным 10 у.е. Определите вероятность того, что:
А) в выбранный день обсуждаемого года цена акции была менее 45 у.е. за акцию;
Б) в выбранный день обсуждаемого года цена акции отклонится от своего математического
ожидания на величину меньшую 20 у.е.
Решение.
а) 
б) 
.
Задача №2
Для изучения мнения потребителей о новом виде услуг, предоставляемых туристической фирмой,
методом случайного отбора было опрошено 400 человек. Из числа опрошенных, 280 человек
заинтересовались новым видом услуг. С вероятностью 0,95 определите пределы, в которых будет
находиться доля лиц, заинтересовавшихся новым видом услуг.
Решение
n=400, m=280, 
Задача №1
В барабане книжной лотереи осталось 10 билетов, среди которых 2 выигрышных.
Покупатель приобрел 3 билета. Составьте закон распределения числа выигрышных билетов среди них.
Вычислите числовые характеристики этого распределения. Какова вероятность того, что среди купленных
билетов будет хотя бы один выигрышный?
Решение.
Гипергеометрический закон
| X – число выигрышных билетов среди трех | |||
| P(X=m) | 0,4667 | 0,4667 | 0,0667 |
Задача №2
Случайная повторная выборка 225 людей, обратившихся в брачное агентство, показала, что 100 из
них нашли себе пару с его помощью. Постройте 95% доверительный интервал доли людей,
нашедших себе супруга через брачное агентство.
Решение
n=225, m=100, 
Задача №1
В первой коробке 4 зеленых и 3 красных карандаша, во второй 2 зеленых и 5 красных карандашей.
Наудачу переложили один карандаш из первой коробки во вторую, после чего из второй
коробки извлекли карандаш. Какова вероятность того, что извлеченный карандаш зеленого цвета?
Решение.
А –карандаш, извлеченный из второй коробки - зеленый
| Гипотезы Hi | P(Hi) | P(A/Hi) | P(Hi) P(A/Hi) |
| H1 - из I коробки во II переложили зеленый карандаш | 4/7 | 3/8 | 12/56 |
| H2- из I коробки во II переложили красный карандаш | 3/7 | 2/8 | 6/56 |
| Итого: | - | Р(А) = 18/56 ≈ 0,321 |
Задача №2
Для оценки состояния деловой активности промышленных предприятий различных форм собственности
были проведены выборочные бизнес-обследования и получены следующие результаты:
| Интервалы значений показателя деловой активности (в баллах) | 0 - 8 | 8 - 16 | 16 - 24 | 24 - 32 |
| Число предприятий (акционерные общества открытого типа) |
Построить гистограмму распределения частот. Найти среднее значение показателя деловой активности
, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Объяснить полученные результаты.
Решение.
| Число предприятий (акционерные общества открытого типа) | Середины интервалов |
|
|
| 940,9 | |||
| 43,35 | |||
| 317,52 | |||
| 1022,45 | |||
| 2324,22 |
28
Задача №1
Предположим, что в течение года цена на акции компании «Запад» есть случайная величина,
подчиняющаяся нормальному закону распределения с математическим ожиданием 100 у.е. и
среднеквадратическим отклонением, равным 20 у.е. Определите вероятность того, что в выбранный
день обсуждаемого года цена акции была:
А) более 140 у.е. за акцию;
Б) между 70 и 130 у.е. за акцию;
В) менее 110 у.е. за акцию.
Решение.
А) 
Б) 
В) 
Задача №2
В первой коробке содержится 20 деталей, из них 18 стандартных; во второй коробке – 10 деталей,
из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята деталь и переложена в первую.
Найти вероятность того, что деталь, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.
Решение.
А – деталь, извлеченная из первой коробки - стандартная
| Гипотезы Hi | P(Hi) | P(A/Hi) | P(Hi) P(A/Hi) |
| H1 - из II коробки в I переложили стандартную деталь | 0,9 | 19/21 | 171/210 |
| H2- из II коробки в I переложили нестандартную деталь | 0,1 | 18/21 | 18/210 |
| Итого: | - | Р(А) = 189/210 ≈ 0,9 |
Задача №1
Рост лиц призывного возраста предполагается нормально распределенной случайной величиной
с математическим ожиданием 172 см и среднеквадратическим отклонением 6 см. Определить
вероятность того, что рост призывника будет:
А) ниже 165 см;
Б) выше 175 см.
Решение.
А) 
Б) 
Задача №2
Для выяснения возрастных особенностей кадрового состава преподавателей университета было
произведено обследование, в результате которого получены следующие данные:
| Возраст преподавателя | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 |
| Число преподавателей |
Определите:
1) средний возраст преподавателей;
2) дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
3) коэффициент вариации;
4) моду и медиану.
Решение.
| Середины интервалов | Число преподавателей |
|
| Накопл. частоты |
| Итого |
30
Задача №1
Рост студентов первого курса - нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием
170 см и среднеквадратическим отклонением 5 см. Определить вероятность того, что рост
случайно выбранного студента будет:
А) ниже 163 см;
Б) выше 177 см.
Решение.
А) 
Б) 
Задача №2
Автомат разливает напиток в пакеты объёмом 500 см3 . Погрешности в работе
автомата таковы, что среднее квадратическое отклонение объема напитка в пакете равно 2 см3.
Найти вероятность того, что объем напитка в пакете будет заключаться между 497 и 503 см3?
РЕШЕНИЕ.
Пусть 
- объем напитка в пакете
1 способ: по формуле 
0,866
2 способ: Нужно найти вероятность неравенства 
, причем 
; 
. Применяем формулу
0,866
Задача №1
Интегральная функция распределения F(x) непрерывной случайной величины задана
следующим образом.
Найти плотность распределения этой случайной величины, вычислить числовые характеристики
распределения и построить графики функции распределения и плотности распределения.
Решение.
Задача №2
Для оценки состояния деловой активности промышленных предприятий различных
форм собственности были проведены выборочные бизнес-обследования и получены следующие результаты:
| Интервалы значений показателя деловой активности (в баллах) | 0 - 8 | 8 - 16 | 16 - 24 | 24 - 32 |
| Число предприятий (акционерные общества открытого типа) |
Построить гистограмму распределения частот. Найти среднее значение показателя деловой
активности, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Объяснить полученные результаты.
Решение.
| Число предприятий (акционерные общества открытого типа) | Середины интервалов |
|
|
| 940,9 | |||
| 43,35 | |||
| 317,52 | |||
| 1022,45 | |||
| 2324,22 |
Задача №1
Служащий кредитного отдела банка знает, что 12% фирм, бравших кредит в банке,
обанкротились и не вернут кредиты по крайней мере в течение пяти лет. Он также знает,
что обанкротились 20% кредитовавшихся в банке фирм. Если один из клиентов банка обанкротился,
то чему равна вероятность того, что он окажется не в состоянии вернуть долг банку?
РЕШЕНИЕ.
Задача №2
Получены данные о числе цветных телевизоров, продаваемых ежедневно в магазине
электроники в течение некоторого месяца: 5, 16, 18, 19, 14, 12, 22, 23, 25, 20, 32, 17, 34, 25,
14, 14, 17, 8, 5, 11, 13, 6, 7, 9, 14, 7, 21, 28, 23, 8.
Постройте интервальный ряд без корректировки границ первого и последнего интервалов.
Найдите среднюю арифметическую, медиану, моду и коэффициент вариации.
Начертите полигон и кумуляту.
РЕШЕНИЕ.
; 
16; 
; 
; 
; 
45,75%;
;
Эти задачи можно не включать
Задача №1
Задача, включенная в экзаменационный билет, была в течение семестра решена 80% студентов.
Решили на экзамене эту задачу 30% студентов, присутствовавших на занятиях в семестре
при решении задачи, и 10% не присутствовавших на занятиях.
Чему равна вероятность того, что случайно выбранный студент решил задачу?
Какова вероятность того, что студент, присутствовавший на занятиях в семестре,
когда решалась задача, получил в билете эту задачу?
профессор, принявший учебник для преподавания, получил рекламные проспекты?
Решение.
Чтобы ответить на вопрос, надо применить формулу полной вероятности:
.
Обозначим событие 
: «студент решил на экзамене задачу».
В таком контексте можно выдвинуть две гипотезы. Гипотеза 
: «студент присутствовал на занятиях »,
гипотеза 
: «студент не присутствовал на занятиях».
Очевидно, что 
, а 
, а условные вероятности 
и 
соответственно будут равны 0,3 и 0,1.
Тогда 
.
Это же решение можно представить при помощи табл.1.
Гипотезы 
| 
| 
| 
|
 : «Студент присутствовал на занятии»
| 0,8 | 0,3 | 0,8×0,3=0,24 |
 : «студент не присутствовал на занятии»
| 0,2 | 0,1 | 0,2×0,1=0,02 |
| å | - | 
|
Задача №1
Задача, включенная в экзаменационный билет, была в течение семестра решена 80% студентов.
Решили на экзамене эту задачу 30% студентов, присутствовавших на занятиях в семестре, когда
решалась задач, и 10% не присутствовавших на занятиях.
Какова вероятность того, что студент, присутствовавший на занятиях в семестре,
когда решалась задача, получил в билете эту задачу?
РЕШЕНИЕ.
Обозначим событие 
: «студент решил на экзамене задачу».
Обозначим
Гипотеза 
: «студент присутствовал на занятиях »,
гипотеза 
: «студент не присутствовал на занятиях».
Очевидно, что , а 
,
а условные вероятности 
и 
соответственно будут равны 0,3 и 0,1.
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо применить формулы Байеса, так как в этом случае событие
произошло (известно, что студент, присутствовавший на занятиях, решил задачу).
ля этого найдем условную вероятность гипотезы 
при условии, что событие 
произошло, т.е.
.