Главная | Обратная связь

Тема №6 Правила сложения и умножения вероятностей

Во многих задачах сложные события, вероятности которых надо найти, удается выразить в виде комбинации других, более простых событий, причем вероятности последних либо заданы, либо непосредственно подсчитываются. В таком случае для решения задач можно использовать формулы, выражающие вероятности суммы и произведения событий через вероятности соответствующих слагаемых и сомножителей.

Правила сложения и умножения вероятностей: если события А₁, А₂,…,А_n , … попарно несовместны, то справедливо равенство

р(А₁+ А₂,+…+ А_n +…) = р(А₁) + р(А₂) +…+ р(А_n)+... (1)

Из правила сложения вероятностей для двух событий вытекает правило нахождения вероятности противоположного события:

. (2)

Для произвольных событий А и В имеет место формула (см. §3, задача 37(а)):

р(А + В) = р(А) + р(В) – р(АВ). (3)

В случае n слагаемых (n>2) эта формула принимает вид (см. §3, задача 38):

. (4)

Вероятность р(В/А) события В при условии наступления события А по определению равна:

. (5)

Из этого определения следует формула для вычисления вероятности произведения двух событий:

р(АВ) = р(А) р(В/А). (6)

Для вычисления вероятности произведения n событий (n>2) служит общая формула:

р(А₁ А₂… А_n) = р(А₁) р(А₂ / A₁) p(A₃ / A₁A₂)+…+ р(А_n /A₁A₂…A_n-1) (7)

События А₁, А₂,… А_n называются независимыми в совокупности, если вероятность любого из них не меняется при наступлении какого угодно числа событий из остальных.

Правило умножения вероятностей для n событий: если события А₁, А₂,… А_n независимы, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей, т.е.

р(А₁ А₂… А_n) = р(А₁) р(А₂) … р(А_n). (8)

Вычисление вероятности суммы событий можно свести к вычислению вероятности произведения противоположных событий по формуле

р(А₁ +А₂ +…+ А_n) = 1 - р (9)

В частности, если события А₁ ,А₂,…, А_n независимы, то

р(А₁ +А₂ +…+ А_n) = 1 - р =

= 1 – (1 – р(А₁))(1 – р(А₂))…(1 – р(А_n)). (10)

Пример 1. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, а для второго – 0,6. Стрелки независимо друг от друга сделалают по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один из стрелков?

Решение. Введем обозначения: событие А – попадание первого стрелка, событие В – попадание второго стрелка, событие С – попадание хотя бы одного из стрелков. Тогда, очевидно С = А + В, причем события А и В совместны. Следовательно, по формуле (3)

р(С) = р(А) + р)В) – р(АВ).

Так как события А и В независимы, то

р(С) = р(А) + р)В) – р(А) р(В).

Наконец, учитывая, что р(А) = 0,8, р(В) = 0,6, получаем:

р(С) = 0,8 + 0,6 – 0,8 · 0,6 = 0,92.

Пример 2. Монета брошена три раза. Найдите вероятность того, что герб выпадет ровно два раза.

Решение. Введем обозначения: А_i – выпадение герба при i-м бросании монеты (i = 1, 2, 3), А – выпадение 2 гербов при 3 бросаниях монеты. Тогда А = А₁А₂ + А₁ А₃ + А₂А₃. Так как слагаемые правой части этого равенства попарно несовместны, то по правилу сложения вероятностей имеем:

р(А) =р(А₁А₂ ) + р(А₁ А₃ ) + р( А₂А₃).

Наконец, учитывая независимость событий А₁, А₂, А₃, по правилу умножения вероятностей получаем:

р(А) =р(А₁ ) р(А₂ ) р( ) + р(А₁ ) р( ) р(А₃ ) + р( ) р(А₂ ) р(А₃)=

= .

Пример 3. В команде из 12 спортсменов 5 мастеров спорта. По жеребьевке из команды выбирают 3 спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные спортсмены являются мастерами спорта?

Решение. Укажем 2 способа решения, из которых первый состоит в непосредственном подсчете искомой вероятности по классической схеме, а второй – в применении формулы (7).

Первый способ. Представим себе урну, в которой 5 красных и 7 белых шаров. Красные шары соответствуют мастерам спорта, а белые – остальным спортсменам. Из этой урны наудачу извлекаются 3 шара, и пусть событие А состоит в появлении 3 красных шаров. Тогда искомая вероятность равна: .

Второй способ. Из урны последовательно без возвращения извлекаются 3 шара. Введем обозначения: А₁ – первый шар красный, А₂ – второй красный, А₃ – третий красный и А – все 3 шара красные. Тогда А = А₁А₂А₃ и по формуле (7) при n = 3 имеем:

р(А) = р(А₁) р(А₂/A₁) p(A₃/A₁A₂) = .

Пример 4. 3 стрелка попадают в мишень соответственно с вероятностями 0,9; 0,8; 0,7. Какова вероятность того, что при одном выстреле хотя бы один из них попадет в мишень (событие D)?

Пусть событие А, В, С – соответственно попадание в мишень 1, 2, и 3-го стрелка. Тогда D= А + В + С. Однако лучше представить D как событие, противоположное (ни одного попадания): D = . По формуле (10) тогда имеем: p(D) = 1 – p( ) p( ) p( ) = 1 – 0,1 · 0,2 · 0,3 = 0,994.