Тема №11 Функция распределения случайной величины
На практике для задания случайных величин общего вида обычно используется функция распределения. Вероятность того, что случайная величина х примет определенное значение х0 , выражается через функцию распределения по формуле р (х = х0) = F(x0 +0) – F(x0). (3) В частности, если в точке х = х0 функция F(x) непрерывна, то р (х = х0) =0. Случайная величина х с распределением р(А) называется дискретной, если на числовой прямой существует конечное или счетное множество W, такое, что р(W,) = 1. Пусть W = {x1, x2,…} и pi = p({xi}) = p(x = xi), i = 1,2,….Тогда для любого борелевского множества А вероятность р(А) определяется однозначно формулой . (4) Положив в этой формуле А = {xi / xi < x}, x Î R, получим формулу для функции распределения F(x) дискретной случайной величины х: F(x) = p(x < x) = . (5) График функции F(x) представляет собой ступенчатую линию. Скачки функции F(x) в точках х = х1, х2 …(x1<x2<…) равны соответствующим вероятностям р1, p2, …. Пример 1. Найдите функцию распределения дискретной случайной величины х из примера 1§ 13. Используя функцию распределения, вычислите вероятности событий: х < 3, 1 £ x < 4, 1 £ x £ 3.
полученной в § 13, и формулу (5), получим функцию распределения:
По формуле (1) Р(x < 3) = F(3) = 0,1808; по формуле (2) р(1 £ x < 4) = F (4) – F(1) = 0,5904 – 0,0016 = 0,5888; p (1 £ x £ 3) = p ( 1 £ x <3) + p(x = 3) = F(3) – F(1) + F(3+0) – F(3) = = F(3+0) – F(1) = 0,5904 – 0,0016 = 0,5888. Пример 2. Дана функция Является ли функция F(x) функцией распределения некоторой случайной величины? В случае положительного ответа найдите . Построить график функции F(x). Решение. Для того чтобы наперед заданная функция F(x) являлась функцией распределения некоторой случайной величины х, необходимо и достаточно выполнение следующих условий (характеристических свойств функции распределения): 1. F(x) – неубывающая функция. 2. , . 3. При любом х Î R F(x – 0) = F(x). Для заданной функции F(x) выполнение этих условий очевидно. Значит, F(x) – функция распределения. Вероятность вычисляем по формуле (2): . График функции F(x) представлен на рисунке 13. Пример 3. Пусть F1(x) и F2(x) – функции распределения случайных величин х1 и х2 соответственно, а1 и а2 – неотрицательные числа, сумма которых равна 1. Доказать, что F(x) = a1F1(x) + a2F2(x) является функцией распределения некоторой случайной величины х. Решение. 1) Так как F1(x) и F2(x) – неубывающие функции и а1 ³ 0, а2 ³ 0, то a1F1(x) и a2F2(x) - неубывающие, следовательно, их сумма F(x) тоже неубывающая. 2) ; . 3) При любом х Î R F(x - 0) = a1F1(x - 0) + a2F2(x - 0)= a1F1(x) + a2F2(x) = F(x). Пример 4. Дана функция Является ли F(x) функцией распределения случайной величины? Решение. Легко заметить, что F(1) = 0,2 > 0,11 = F(1,1). Следовательно, F(x) не является неубывающей, а значит, не является функцией распределения случайной величины. Заметим, что остальные два свойства для данной функции справедливы.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|