Свойства числовых рядов.
РЯДЫ Числовой ряд: , члены ряда:
Частичные суммы числового ряда образуют последовательность: Ряд сходится, если существует конечный предел: ; в противном случае – ряд расходится.
Необходимый признак сходимостиряда: - если ряд сходится, то . - если , то ряд расходится. Свойства числовых рядов. 1. Если сходится ряд
то сходится и ряд , полученный отбрасыванием (или приписыванием) первых n членов ряда: . Чтобы ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы (из сходимости остатка следует сходимость исходного ряда). 2. Если сходится ряд , то сходится и ряд , 3. Если сходятся ряды
то сходится и ряд
Достаточные признаки сходимости ряда: I признак сравнения: пусть даны два ряда и , причём , тогда: 1) если ряд - сходится, то и ряд - сходится; 2) если ряд - расходится, то и ряд - расходится.
II признак сравнения: если существует конечный предел , то ряды и сходятся или расходятся одновременно.
Знакопеременные ряды сходится, если сходится ряд , составленный из абсолютных величин его членов. Знакопеременный ряд в этом случае называют абсолютно сходящимся. Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд расходится, то его называют условно сходящимся. Достаточный признак сходимостидлязнакочередующихсярядов - признак Лейбница: Если для знакочередующегося ряда выполнены условия: то ряд сходится, если одно из условий не выполняется, то ряд расходится. Условие выполнено, если: 1. 2. 3. пусть такая, что :
Функциональный ряд:
Степенной ряд:
Областью сходимости степенного ряда является круг с центром в точке , радиус которого может быть определён применением либо признака Даламбера, либо признака Коши: или Для любого степенного ряда существует число называемое радиусом сходимости ряда, которое обладает свойствами: - при любом х, удовлетворяющему неравенству , ряд сходится, - при любом х, удовлетворяющему неравенству , ряд расходится. Промежуток называется интервалом сходимости ряда. Вопрос о сходимости ряда на концах интервала, т.е. при исследуется отдельно. Для определения радиуса сходимости можно использовать формулы: или - если , то ряд сходится в единственной точке - если , то ряд сходится на всей числовой прямой ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|