Обратная геодезическая задача

Лабораторная работа №3 «Решение прямой и обратной геодезических задач» в курсе «Основы геодезии».

Прямая геодезическая задача

В геодезии часто приходится передавать координаты с одной точки на другую. Зная исходные координаты точки А (рис.1), горизонтальное расстояние (проложение) S_AB от неё до точки В и направление линии, соединяющей обе точки (дирекционный угол α_AB или румб r_AB), можно определить координаты точки В. Передача координат с одной точки на другую называется прямой геодезической задачей.

Рис. 1. Прямая геодезическая задача

Для точек на плоскости задача решается следующим образом:

Дано: прямоугольные координаты точки А ( X_A, Y_A ), горизонтальное проложение S_AB и дирекционный угол α_AB.

Найти: прямоугольные координаты точки В ( X_B, Y_B ).

Непосредственно из рисунка имеем:

ΔX = X_B – X_A ;

ΔY = Y_B – Y_A .

Разности ΔX и ΔY координат точек последующей и предыдущей называются приращениями координат. Они представляют собой проекции отрезка АВ на соответствующие оси координат. Их значения находим из прямоугольного прямоугольника АВС:

ΔX = S_AB · cos α_AB ;

ΔY = S_AB · sin α_AB .

Так как в этих формулах S_AB всегда число положительное, то знаки приращений координат ΔX и ΔY зависят от знаков cos α_AB и sin α_AB. Приращения координат ΔX и ΔY имеют знаки ( + и - ), которые зависят от величины дирекционного угла или от названия румба. Для различных значений углов знаки ΔX и ΔY представлены в табл.1.

Таблица 1.

Знаки приращений координат ΔX и ΔY

Приращения координат Четверть окружности в которую направлена линия

I (СВ) II (ЮВ) III (ЮЗ) IV (СЗ)

ΔX + – – +

ΔY + + – –

При помощи румба приращения координат вычисляют по формулам:

ΔX = S_AB · cos r_AB ;

ΔY = S_AB · sin r_AB .

Знаки приращениям дают в зависимости от названия румба.

Вычислив приращения координат, находим искомые координаты другой точки:

X_B = X_A + ΔX ;

Y_B = Y_A+ ΔY .

Таким образом, можно найти координаты любого числа точек по правилу: координаты последующей точки равны координатам предыдущей точки плюс соответствующие приращения.

Обратная геодезическая задача

Обратная геодезическая задача заключается в том, что при известных координатах точек А( X_A, Y_A ) и В( X_B, Y_B ) необходимо найти длину (горизонтальное проложение) S_AB и направление линии АВ: румб r_AB и дирекционный угол α_AB (рис.2).

Рис. 2. Обратная геодезическая задача

Обратная геодезическая задача решается следующим образом:

Сначала находим приращения координат ΔX и ΔY.

ΔX = X_B – X_A ;

ΔY = Y_B – Y_A .

Величину угла r_AB определяем из отношения tg r_AB₌ΔY / ΔX

По знакам приращений координат вычисляют четверть, в которой располагается румб, и его название.

Используя зависимость между дирекционными углами и румбами, находим α_AB.

Для контроля S_AB расстояние S_AB дважды вычисляют по формулам:

или

S_AB = XАВ / cos r_AB _;

S_AB = ΔYАВ / sin r_AB_.

Кроме этого для контроля длина линии АВ измеряется непосредственно по карте с использованием поперечного масштаба и циркуля-измерителя. Разница в расстояниях не должна превышать допустимых значений в зависимости от масштаба карты (1:10 000 - 9 м; 1:25 000 – 22м; 1:50 000 - 45м).