Здавалка
Главная | Обратная связь

Разложение в ряд Фурье непериодической функции



Допустим, функция f(x) задана на отрезке [a, b] и является на этом отрезке кусочно – монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно – монотонную функцию f1(x) c периодом 2Т ³ïb - aï, совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a, b].

 

Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f1(x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] совпадает с функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a, b].

Таким образом, если функция f(x) задана на отрезке, равном 2p ничем не отличается от разложения в ряд периодической функции. Если же отрезок, на котором задана функция, меньше, чем 2p, то функция продолжается на интервал (b, a + 2p) так, что условия разложимости в ряд Фурье сохранялись.

Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2p может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке [a,b].

 

Ряд Фурье для четных и нечетных функций

 

Отметим следующие свойства четных и нечетных функций:

1)

2) Произведение двух четных и нечетных функций является четной функцией.

3) Произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.

 

 

Если f(x) – четная периодическая функция с периодом 2p, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то можно записать:

Таким образом, для четной функции ряд Фурье записывается:

Аналогично получаем разложение в ряд Фурье для нечетной функции:

Пример 1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом T = 2p

на отрезке [-p; p].

Решение. Заданная функция является нечетной, следовательно, коэффициенты Фурье ищем в виде:

 

 

 

 

 

 

Получаем: .

 

Построим графики заданной функции и ее разложения в ряд Фурье, ограничившись первыми четырьмя членами ряда.

 

 

Пример 2.

Решение.

 

Ряды Фурье для функций любого периода

 

Ряд Фурье для функции f(x) периода Т = 2l, непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [-l, l] имеет вид:

 

 

Для четной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье имеет вид:

 

Для нечетной функции:

 

Пример 3.

Решение.







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.