 |
|
Интеграл от функции с бесконечными разрывами
(несобственный интеграл 2 рода)
Пусть f(x) 
С[a; b) и имеет бесконечный разрыв при x = b. Предел
(3)
называется несобственным интегралом 2 рода:
.
Если предел (3) конечный, то несобственный интеграл
(4)
сходится. Если предел (3) бесконечный или не существует, то интеграл (4) расходится.
Если f(x) С(a; b] и имеет бесконечный разрыв при x = a, то несобственный интеграл определяется выражением
.
Если f(x) имеет разрыв во внутренней точке с [a; b], то несобственный интеграл определяется как
(5)
.
Интеграл слева в выражении (5) называется сходящимся, если оба предела справа конечные.
Если f(x)>0, то сходящийся несобственный интеграл 2 рода можно истолковать как площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции (бесконечно высоких криволинейных трапеций).
Пример 4. Вычислить 
.
Решение ▼
.
Интеграл расходится.
▲
Признаки сходимости несобственного интеграла 2 рода
Теорема 3.Пусть f(x), φ(x) С[a;b), 0 ≤f(x) ≤φ(x) 
[a; b), при x = b функции f(x) и φ(x) имеют бесконечный разрыв. Тогда:
1) из сходимости интеграла 
следует сходимость 
;
2) из расходимости интеграла 
следует расходимость 
.
Аналогично. Пусть f(x), φ(x) С(a;b], 0 ≤f(x) ≤φ(x) (a; b], при x = a функции f(x) и φ(x) имеют бесконечный разрыв. Тогда из сходимости интеграла 
следует сходимость 
, а из расходимости интеграла 
следует расходимость 
.
_______________________________
Теорема 4.Пусть f(x), φ(x) С[a;b), при x = b функции f(x) и φ(x) имеют разрыв. Если существует предел
, k 
R+,
то интегралы 
и 
одновременно сходятся или одновременно расходятся.
Аналогично. Пусть f(x), φ(x) С(a;b], при x = a функции f(x) и φ(x) имеют разрыв. Если существует предел
, k R+,
то интегралы 
и 
одновременно сходятся или одновременно расходятся.
_______________________________
Пример 5. Исследовать на сходимость интеграл
.
Решение ▼
Функция 
имеет на [0;1] разрыв в точке x=0.
Рассмотрим 
.
–– интеграл расходится.
Поскольку
,
то 
– расходится.
▲