Здавалка
Главная | Обратная связь

Производные высших порядков неявно заданной функции

ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Производные высших порядков явно заданной функции

Производная yʹ= fʹ(x) функции y= f(x) есть также функция от xи называется производной первого порядка.

Если (x) С1(x), то ее производная называется производной второго порядка и обозначается yʹʹ ( или fʹʹ(x), ).

Итак

yʹʹ = ()ʹ.

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка:

yʹʹʹ = (yʹʹ)ʹ.

Производной n-го порядка называется производная от производной (n –1) порядка:

y(n) =(y(n –1))ʹ.

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Пример 2.Найти производную третьего порядка функции

.

Решение.

; ; .

Механический смысл производной второго порядка

Пусть материальная точка Мдвижется прямолинейно по закону

Как известно, производная есть скорость прямолинейного движения в данный момент времени:

.

Покажем, что вторая производная от пути по времени равна ускорению прямолинейного движения в данный момент времени:

.

Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент tt скорость равна VV, т.е. за промежуток Δt скорость изменилась на величину ΔV.

Отношение выражает среднее ускорение движения точки за время Δt. Предел этого отношения при Δt→0

есть мгновенное ускорение точки.

Но

,

т.е.

.

Производные высших порядков неявно заданной функции

Пусть функция

y = f(x)

задана неявно в виде уравнения

F(x, y) = 0.

Дифференцируем это уравнение по x и выражаем производную .

Дифференцируем по x первую производную и получаем вторую производную yʹʹ от неявной функции. В выражение для yʹʹ войдут x, y и .

Подставляем выражение для в yʹʹ и получим yʹʹ, выраженную через x и y.

Аналогично находятся производные треть-его и более высокого порядка.

Пример 3.Найти производную yʹʹʹ, если

x2 + y2 – 1 = 0.

Решение.

Заданное уравнение дифференцируем по x:

2x + 2y = 0;

.

Находим производную второго порядка:

;

.

(По условию x2 + y2 =1).

.





©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.