Производные высших порядков неявно заданной функции
ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Производные высших порядков явно заданной функции Производная yʹ= fʹ(x) функции y= f(x) есть также функция от xи называется производной первого порядка. Если fʹ(x) С1(x), то ее производная называется производной второго порядка и обозначается yʹʹ ( или fʹʹ(x), ). Итак yʹʹ = (yʹ)ʹ. Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка: yʹʹʹ = (yʹʹ)ʹ. Производной n-го порядка называется производная от производной (n –1) порядка: y(n) =(y(n –1))ʹ. Производные порядка выше первого называются производными высших порядков. Пример 2.Найти производную третьего порядка функции . Решение. ▼ ; ; . ▲ Механический смысл производной второго порядка Пусть материальная точка Мдвижется прямолинейно по закону Как известно, производная есть скорость прямолинейного движения в данный момент времени: . Покажем, что вторая производная от пути по времени равна ускорению прямолинейного движения в данный момент времени: . Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент t +Δt скорость равна V+ΔV, т.е. за промежуток Δt скорость изменилась на величину ΔV. Отношение выражает среднее ускорение движения точки за время Δt. Предел этого отношения при Δt→0 есть мгновенное ускорение точки. Но , т.е. . Производные высших порядков неявно заданной функции Пусть функция y = f(x) задана неявно в виде уравнения F(x, y) = 0. Дифференцируем это уравнение по x и выражаем производную yʹ. Дифференцируем по x первую производную и получаем вторую производную yʹʹ от неявной функции. В выражение для yʹʹ войдут x, y и yʹ. Подставляем выражение для yʹ в yʹʹ и получим yʹʹ, выраженную через x и y. Аналогично находятся производные треть-его и более высокого порядка. Пример 3.Найти производную yʹʹʹ, если x2 + y2 – 1 = 0. Решение. ▼ Заданное уравнение дифференцируем по x: 2x + 2y yʹ = 0; . Находим производную второго порядка: ; . (По условию x2 + y2 =1). . ▲ ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|