 |
|
Преобразование системы координат.
Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы координат.
Сущ.два случая преобраз-ия одной прямоуг-ой системы координат в другую. Полученные формулы устанавливают зависимость между координатами произвольной точки плоскости в разных системах координат.
Параллельный перенос осей координат
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху. Под параллельным переносом осей координат понимают переход от системы координат Оху к новой системе О1х1у1, при котором меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неизменными.
Пусть начало новой системы координат точка О1 имеет координаты (х0;y0) в старой системе координат Оху, т. е. О1 (х0;y0). Обозначим координаты произвольной точки Μ плоскости в системе Оху через (х;у), а в новой системе O1x1y1 через (х';у') (см. рис. 28).
Рассмотрим векторы 
Следовательно, 
Полученные формулы позволяют находить старые координаты x и у по известным новым х' и у' и наоборот.
Поворот осей координат 
Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.
Пусть новая система O1x1y1 получена поворотом системы Оху на угол α.
Пусть Μ произвольная точка плоскости, (х;у) — ее координаты в старой системе и (х';у') — в новой системе.
Введем две полярные системы координат с общим полюсом О и полярными осями Ох и Οx1 (масштаб одинаков). Полярный радиус r в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны α + j и φ, где φ — полярный угол в новой полярной системе. По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем 
Но rcosj = х' и rsinφ = у'. Поэтому 
Полученные формулы называются формулами поворота осей. Они позволяют определять старые координаты (х; у) произвольной точки Μ через новые координаты (х';у') этой же точки М, и наоборот. 
Если новая система координат O1x1y1 получена из старой Оху путем параллельного переноса осей координат и последующим поворотом осей на угол α (см. рис. 30), то путем введения вспомогательной системы легко получить формулы 
выражающие старые координаты х и у произвольной точки через ее новые координаты х' и у'.