Определение двойственной задачиСтр 1 из 2Следующая ⇒
Каждой задаче линейного программирования можно определенным образом сопоставить некоторую другую задачу (линейного программирования), называемую двойственной или сопряженной по отношению к исходной или прямой задаче. Дадим определение двойственной задачи по отношению к общей задаче линейного программирования, состоящей, как мы уже знаем, в нахождении максимального значения функции (32) при условиях (33) (34) Определение 1.Задача, состоящая в нахождении минимального значения функции (35) при условиях (36) (37) называется двойственной по отношению к задаче (32) – (34). Задачи (32) – (34) и (35) – (37) образуют пару задач, называемую в линейном программировании двойственной парой. Сравнивая две сформулированные задачи, видим, что двойственная задача составляется согласно следующим правилам: 1. Целевая функция исходной задачи (32) – (34) задается на максимум, а целевая функция двойственной (35) – (37) – на минимум.
2. Матрица (38) составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений (33) исходной задачи (32) – (34), и аналогичная матрица (39) в двойственной задаче (35) – (37) получаются друг из друга транспонированием (т. е. заменой строк столбцами, а столбцов – строками). 3. Число переменных в двойственной задаче (35) – (37) равно числу ограничений в системе (33) исходной задачи (32) – (34), а число ограничений в системе (36) двойственной задачи – числу переменных в исходной задаче. 4. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции (35) двойственной задачи (35) – (37) являются свободные члены в системе (33) исходной задачи (32) – (34), а правыми частями в соотношениях системы (36) двойственной задачи – коэффициенты при неизвестных в целевой функции (32) исходной задачи. 5. Если переменная xj исходной задачи (32) – (34) может принимать только лишь положительные значения, то j–е условие в системе (36) двойственной задачи (35) – (37) является неравенством вида “≥”. Если же переменная xj может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то j–е соотношение в системе (36) представляет собой уравнение. Аналогичные связи имеют место между ограничениями (33) исходной задачи (32) – (34) и переменными двойственной задачи (35) – (37). Если i – соотношение в системе (33) исходной задачи является неравенством, то i–я переменная двойственной задачи уi ≥0. В противном случае переменная уi может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Двойственные пары задач обычно подразделяют на симметричные и несимметричные. В симметричной паре двойственных задач ограничения (33) прямой задачи и соотношения (36) двойственной задачи являются неравенствами вида “ ”. Таким образом, переменные обеих задач могут принимать только лишь неотрицательные значения. Сосредотачивая внимание на экономическом содержании и размерности постоянных переменных величин рассматриваемых задач, можно записать следующие соотношения: ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|