Радикальна ознака Коші

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

Нехай для позитивного ряду (a_n ≥ 0) існує границя .

Тоді справедливі наступні твердження:

а) якщо, l < 1 те цей ряд збігається;

б) якщо, l > 1 те цей ряд розбігається.

Приклад.Дослідити на збіжність ряд .

Розв‘язок. За радикальною ознакою Коші

. Ряд збігається.

Інтегральна ознака Коші

Якщо члени позитивного ряду можуть бути представлені як числові значення деякої безперервної монотонно спадною на проміжку [1,+∞) функції f(x) так, що , , …, ,…, то ряд і невласний інтеграл збігаються або розбігаються одночасно.

Приклади:

1.Дослідити на збіжність ряд .

Розглянемо функцію , для якої . За інтегральною

ознакою =

= .

2.Дослідити на збіжність ряд .

Розглянемо функцію , для якої . За інтегральною ознакою

= .

Знакозмінні ряди.Ряд знакозмінний, якщо він містить нескінчен-ну множину позитивних і негативних елементів. Знакозмінний ряд єабсолютно збіжним, якщо сходиться ряд .

Достатня ознака збіжності знакозмінного ряду. Якщо збігається ряд , складений з модулів членів ряду, то збігається і сам знакозмінний ряд .

Знакопереміжним рядом називається ряд, для якого члени, які стоять поруч, мають різні знаки, тобто

. (8.3)

Достатня ознака збіжності знакопереміжного ряду (ознака Лейбніца) Якщо для знакопереміжного ряду:

1) послідовність абсолютних величин членів ряду монотонно спадає, тобто ;

2) загальний член ряду прямує до нуля , то ряд збігається.

Функціональні ряди

Ряд називається функціональним, якщо його елементи є функціями, які визначені на одній множені Х

(8.4)

Якщо при х = х₀ числовий ряд збігається, то точка х₀ називається точкою збіжності; якщо ж ряд розбігається - точкою розбіжності функці-онального ряду.

Степеневі ряди

. (8.5)

Області збіжності степеневого ряду (теорема Абеля).

1) Якщо степеневий ряд (8.5) збігається при x = x₀ , то він збігається і притому абсолютно для усіх ;

2) якщо степеневий ряд (9.3) розбігається при x = x₁, то він

розбігається для усіх .

Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду . Теорема Абеля ствер-дьжує, що якщо х₀ - точка збіжності степеневого ряду, то в усіх точках, розташованих на інтервалі (рис 8.1а), цей ряд збігається абсолютно, а якщо х₁ - точка розбіжності ряду, то в усіх точках, розташованих поза інтервалом (рис. 8.1б), ряд розбігається.

Рис. 8.1.

Інтервал називають інтервалом збіжності степеневого ряду. Поклавши , інтервал збіжності можна записати у виді (- R, R). Число R називають радіусом збіжності степеневого ряду, тобто R > 0 - таке число, що при усіх |х| < R, ряд (8.5) абсолютно збігається, а при |х| > R розбігається.

З ознаки збіжності Даламбера радіус збіжності степеневого ряду може бути визначений співвідношенням . (8.6)

Приклади

1.Знайти область збіжності ряду

Знаходимо радіус збіжності

.

Отже, цей ряд збігається при будь-якому значенні х. Загальний член цього ряду прямує до нуля.

2.Знайти область збіжності ряду

Знаходимо радіус збіжності .

Отже, ряд сходиться при - 2 < x + 2 < 2, тобто при - 4 < х < 0. При х = - 4 маємо ряд , який за ознакою Лейбніца збігається. При х = 0 маємо ряд, що розбігається .

Отже, областю збіжності початкового ряду є - 4 ≤ х < 0.

3.Ряд розбігається на усій числовій прямій, окрім точки х = 0, оскільки радіус збіжності .

Розвинення функцій в степеневі ряди. Розвинення функції в степе-невий ряд Тейлора має вигляд

(8.7)

Якщо у ряді Тейлора х₀ = 0, то ряд називається рядом Маклорена, він має вигляд

(8.8)

Розвинення основних функцій в степеневі ряди:

Ряди Фур'є. Якщо функція f(x) - періодична функція періоду 2p, неперервна на відрізку [-p; p] або вона має на цьому відрізку кінцеве число точок розриву першого роду тоді ця функція f(x) розкладається f(x) в тригонометричний ряд Фурье

= , (8.9)