Основные теоремы двойственности
Итак, согласно теории линейного программирования каждой задаче линейного программирования вида (3.1) - (3.3) соответствует двойственная ей задача линейного программирования вида (3.4) - (3.6). Теория двойственности в линейном программировании строится на нескольких теоремах. Первая теорема двойственности. Если задача линейного программирования имеет конечный оптимум, то двойственная к ней также имеет конечный оптимум, и оптимальные значения линейных форм обеих задач совпадают, то есть мax = min . Вторая теорема двойственности (теорема о дополняющей нежесткости).Компоненты оптимального решения задачи линейного программирования равны абсолютным величинам коэффициентов при соответствующих переменных в выражении линейной формы двойственной ей задачи при достижении ею оптимума. Пусть X = (х1,х2,...,хn) — допустимое решение прямой задачи (3.1) - (3.3), а У = (у1, у2,…,уm) — допустимое решение двойственной задачи (3.4) - (3.6). Для того чтобы они были оптимальными решениями соответствующих взаимодвойственных задач (3.1) - (3.3) и (3.4) - (3.6), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие соотношения: ; (3.7) ; (3.8) Иными словами, условия (3.7) и (3.8) позволяют, зная оптимальное решение одной из взаимодвойственных задач, найти оптимальное решение другой задачи. Рассмотрим еще одну теорему, выводы которой будут использованы в дальнейшем. Теорема об оценках. Значения переменных yi в оптимальном решении двойственной задачи представляют собой оценки влияния свободных членов bi системы ограничений – неравенств прямой задачи на величину : . (3.9) Поясним смысл данной теоремы. Пусть X = (х1,х2,...,хn) – оптимальное решение прямой задачи, а У = (у1, у2,…,уm) – оптимальное решение двойственной задачи. Оптимальные значения целевых функций и достигаются при подстановке компонент оптимального решения в их первоначальные выражения, т.е. = с1х1 + … + cjxj + … + cnxn, = b1y1 + … + biyi + … bmym. На основании первой теоремы двойственности можно записать с1х1 + … + cjxj + … + cnxn = b1y1 + … + biyi + … bmym. Отсюда следует, что = b1y1 + … + biyi + … bmym. Если поставить вопрос о том, как изменится величина , если в исходной задаче увеличить свободный член bi в i-м ограничении-неравенстве на величину Δ bi, то получим следующее. Величина , рассматриваемая теперь как функция переменных bi получить приращение Δ . Частные производные этой функции по любому из этих аргументов имеют вид . Учитывая, что функция линейна, получим формулу (3.9), т.е. . Итак, решая задачу линейного программирования симплексным методом, мы одновременно решаем двойственную задачу. Значения переменных двойственной задачи yi в оптимальном плане называют объективно обусловленными, или двойственными оценками.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|