Главная | Обратная связь

Проверка гипотезы о принятом законе распределения

Обработка результатов измерений

между крайними значениями ряда вычисляется разность. Называется размахом вероятности или шириной распределения:

R=Xmax-Xmin

R=6,13-(-1,87)=8,00

возможное число разрядов 3≤g≤8:

gmin=0.55*n^0.4=3.47≈3

gmax=1.25*n^0.4=7.88≈8

принимаем число интервалов g=5

определяем ширину интервалов ∆X:

∆X=8\5=1,6

расчет границ интервалов:

∆1=(-1,87; -0,27)

∆2=(-0,27; 1,33)

∆3=(1,33; 2,93)

∆4=(2,93; 4,53)

∆5=(4,53; 6,13)

подсчитываем частоты n_i установив границу интервалов подсчитываем число экспериментальных данных попавших в каждый интервал:

N_i1=8

N_i2=33

N_i3=38

N_i4=18

N_i5=3

расчет середины интервалов:

X_ic=

X1c=(-1,87+(-0,27))\2=-1,07

X2c=(-0,27+1,33)\2=0,53

X3c=(1,33+2,93)\2=2,13

X4c=(2,93+4,53)\2=3,73

X5c=(4,53+6,13)\2=5,33

вычисление среднего арифметического значения измеряемой величины:

₁=-1,07*8=-8,56

2=0,53*33=17,49

3=2,13*38=80,94

4=3,73*18=67,14

5=5,33*3=15,99

=0,01*173=1,73

Вычисляются отклонения середин интервалов от среднего арифметического значения и их квадраты: (Хjc – ); (Хjc – )^2:

1. -1,07-1,73= -2,8 5,6

2. 0,53-1,73=-1,2 2,4

3. 2,13-1,73=0.4 0,16

4. 3,73-1,73=2 4

5. 5,33-1,73=3,6 12,96

Определяется произведение квадратов отклонений от среднего на частоту:

(Х_jc – )²·n_j.

1. 5,6*8=44,8

2. 2,4*33=79,2

3. 0,16*38=6,08

4. 4*18=72

5. 12,96*3=38,88

Вычисляется дисперсия и среднее квадратическое отклонение:

D = ;

D=240,96 /99=2,43

σ =√2,43 =1,56

Полученные оценки математического ожидания и СКО является случайными, поэтому рассеивание математического ожидания оценивается с помощью среднего квадратического отклонения среднего арифметического:

=0,156

Таблица 1

Номер раз-ряда	Границы разряда	Середины разрядов Хjc	Частота nj	Хjc· nj	(Хjc – )	(Хjc – )2	(Хjc – )2·nj
	-1,87	-0,27	-1,07		-8,56	-2,8	5,6	44,8
	-0,27	1,33	0,53		17,49	-1,2	2,4	79,2
	1,33	2,93	2,13		80,34	0,4	0,16	6,08
	2,93	4,53	3,73		67,14
	4,53	6,13	5,33		15,99	3,6	12,96	38,88
	—	—	—			—	—	240,96

 

Построение статистических графиков

 

 

Проверка гипотезы о принятом законе распределения

Таблица 4

Номер разряда	Середины разрядов Хjc	Частота nj	(Хjc – )	Нормиро-ванные середины tj	p(tj)	p(xj)	npj	χ2j
	-1,07		-2,8	-1,79	0,0804	0,051	8,2
	0,53		-1,2	-0,77	0,2966	0,19	30,4	0,22
	2,13		0,4	0,26	0,3857	0,25		0,1
	3,73			1,28	0,1758	0,11	17,6	0,009
	5,33		3,6	2,31	0,0277	0,02	3,2	—
	–		–	–	–	–	–	0,329

 

3. Для каждого разряда разбиения определяют его центр t_j и подсчитывают число наблюдений , попавших в каждый из интервалов, теоретически соответствующее вы­бранной аналитической модели распределения.

Для этого сначала от реальных середин интервалов переходят к нормированным серединам:

.

1. -2,8\1,56=-1,79

2. -1,2\1,56=-0,77

3. 0,4\1,56=0,26

4. 2\1,56=1,28

5. 3,6\1,56=2,31

рассчитываем плотность вероятности физической величины теоретической функции распределения в единицах этой величины:

 

_{-0,0804\1,56=0,051}

_{0,2966\1,56=0,19}

_{0,3857\1,56=0,25}

_{0,1758\1,56=0.11}

_{0,0277\1,56=0.02}

 

,

1,6*100*0.051=8,2

1,6*100*0,19=30,4

1,6*100*0,25=40

1,6*100*0,11=17,6

1,6*100*0.02=3,2

 

:

1 - - - - - - - - -

2 (33-30,4)^2))\30.4=0,22

3 (38-40)^2))\40=0,1

4 (18-17.6)^2))\17.6=0.009

5

 

Для нахождения граничных значений критерия определяют число степеней сво­боды:

,

Так как , то гипотеза о нормальном распределении принимается.

 

 

Проверка гипотезы о принадлежности выборки
к генеральной совокупности
по критерию согласия Колмогорова

Таблица 7

№ j	Правая граница разрядов Хj+1	Частота nj	Эмпир. частоты Pk	Значен. накопленных частостей эмп. ф-ции распр. (Хj+1 )	Аргумент ф-ции Zj+1	Значен. ф-ции Ф(Zj+1)	Значен. теорет. ф-ции распр. F(Xj+1)	Абсол. велич. разности Hj
	-0.27		0,08	0,08	-1,28	-0,3997	0,1003	0.6997
	1.33		0,33	0,41	-0,26	-0,1026	0,3947	0.0126
	2.93		0,38	0,79	0,77	0,2794	0,7794	0.0106
	4.53		0,18	0,97	1,79	0,4633	0,9633	0.0067
	6.13		0,03		2,82	0,4976	0,9979	0.0024

 

эмпирические частоты

=0,08

=0,33

=0,38

=0,18

=0,03

 

Значения накопленных частостей

0,08

0,08+0,33=0,41

0,41+0,38=0,79

0,79+0,18=0,97

0,97+0,03=1

 

Аргумент ф-ции Z_j+1

. Для определения теоретической функции распределения:

а) определяются значения аргумента функции Лапласа, соответствующие правым границам всех интервалов.

z_j+1 = (Х_j+1 – ) / σ.

б) определяются значение функции Ф(z_j+1) из таблицы П.4 приложения «Значение функции Ф(Z)»

в) вычисляются значения функции распределения F(X) предполагаемого в качестве теоретического закона распределения

F(Х_j+1 ) = P(Х < Х_j+1 ) = 0,5 + Ф(z_j+1).

 

1. -2.8\1.56=-1,79

2. -1.2\1.56=-0.77

3. 0,4\1,56=0,26

4. 2\1,56=1,28

5. 3,6\1,56=2,31

 

Находится абсолютное значение разностей между значениями эмпирической и теоретической функциями распределения при одинаковых значениях аргумента, а затем выбирается наибольшее из них:

H = max | (Х_j+1 ) – F(Х_j+1 ) |.

 

0,08-0.1003=0.6997

0,41-0.3974=0.0126

0,79-0,7794=0.0106

0,97-0.9633=0.0067

1-0,9976=0.0024

 

Вычисляется значение λ = H =0,6997*10=6.997

λ α=1,22

ся. Т.к. 1,22 ≤ 6.997 , то выдвинутая гипотеза о принадлежности выборки к генеральной совокупности считается отвергнутой.

 

 

Метод Ирвина

(6.13-4.56)\1.56=1.03

n
	1,3	1,2	1,1	1,0	0,9	0,8

, оцениваемый результат является случайным отклонением и отбра­сывать его нельзя.

 

Метод Романовского

между крайними значениями ряда вычисляется разность. Называется размахом вероятности или шириной распределения:

R=Xmax-Xmin

R=6.13+1.63=7.76

возможное число разрядов 3≤g≤8:

gmin=0.55*n^0.4=3.47≈3

gmax=1.25*n^0.4=7.88≈8

принимаем число интервалов g=5

определяем ширину интервалов ∆X:

∆X=7.76\5=2.981.552

расчет границ интервалов:

∆1=(-1.63; -0.078)

∆2=(-0.078; 1.474)

∆3=(1.474; 3.026)

∆4=(3.026; 6.13)

∆5-(24,43; 27,41)

подсчитываем частоты n_i установив границу интервалов подсчитываем число экспериментальных данных попавших в каждый интервал:

N_i1=4

N_i2=43

N_i3=32

N_i4=17

N_i5=3

расчет середины интервалов:

X_ic=

X1c=(-1.63+(-0.078))\2=-0.854

X2c=(-0.078+1.474)\2=0.698

X3c=(1.474+3.026)\2=2.25

X4c=(3.026+4.578)\2=3.802

X5c=(4.578+6.13)\2=5.354

вычисление среднего арифметического значения измеряемой величины:

1. -0.854*4=-3.416

2. 0.698*43=30.014

3. 2.25*32=72

4. 3.802*17=64.634

5. 5.354*3=16.062

=179.294\99=1.811

Вычисляются отклонения середин интервалов от среднего арифметического значения и их квадраты: (Хjc – ); (Хjc – )^2:

1. -0.854-1.811= -2.665 -7.10

2. 0.698-1.811=-1.113 -1.24

3. 2.25-1.811=0.439 0.19

4. 3.802-1.811=1.991 3.96

5. 5.354-1.811=3.543 12.55

Определяется произведение квадратов отклонений от среднего на частоту:

(Х_jc – )²·n_j.

1. -7.10*4=-28.4

2. -1.24*43=-53.32

3. 0.19*32=6.08

4. 3.96*17=67.32

5. 12.55*3=37.65

Вычисляется дисперсия и среднее квадратическое отклонение:

D=191,77/98=1,96

σ =1,4

 

 

Полученные оценки математического ожидания и СКО является случайными, поэтому рассеивание математического ожидания оценивается с помощью среднего квадратического отклонения среднего арифметического:

=0.14

 

 

Таблица 1

Номер раз-ряда	Границы разряда	Середины разрядов Хjc	Частота nj	Хjc· nj	(Хjc – )	(Хjc – )2	(Хjc – )2·nj
	-1.63	-0.078	-0.854		-3,416	-2,665	7,10	28,4
	-0.078	1.474	0.698		30,014	-1,113	1,24	52,32
	1.474	3.026	2.25			0.439	0.19	6,08
	3.026	4.578	3.802		64,634	1,991	3,96	67,32
	4.578	6.13	5.354		16,062	3,543	12,55	37,65
	—	—	—		179,294	—	—	191,77