 |
|
Логические функции.
Алгебра логики.
Логика – наука, изучающая законы и формы мышления.
Историческая справка. Этапы развития логики:
I этап – формальная логика. Основатель Аристотель (384-322 гг. до н.э.), ввел основные формы абстрактного мышления.
II. этап – математическая логика. Основатель немецкий ученый и философ Лейбниц (1642-1716), предпринял попытку логических вычислений.
III этап – математическая логика (булева алгебра). Основатель – английский математик Джордж Буль (1815-1864), ввел алфавит, орфографию и грамматику для математической логики.
Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего востока (Китай, Иран), но в основе современной логики лежат учения, созданные древнегреческими мыслителями.
Свое понимание окружающего мира человек формирует в форме высказываний, утверждений.
Высказывание – повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или нет.
Высказывание может быть выражено с помощью формальных языков.
Например:
1. Земля – планета солнечной системой. (истинное)
2. 1+6=10 (ложное)
Высказывания бывают простыми и сложными:
Простое высказывание – содержит только одну простую мысль.
Например: Ромб – квадрат.
Сложное высказывание содержит несколько простых мыслей, соединенных между собой с помощью логических операций (и, или, не).
Например:
На улице идет дождь или На улице светит солнце = 1
1 0
На улице идет дождь и На улице светит солнце = 0
1 0
Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы можно было определить истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание.
Простым высказываниям ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые прописными буквами латинского алфавита.
А= «Два умножить на два равно четыре»=1
В= «4+10=20»=0
Истинному высказыванию соответствует значение логической переменной 1, а ложному – 0.
В алгебре высказываний над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания.
Составное высказывание обозначается F(A,B).
Для определения истинности или ложности составного высказывания используют таблицу истинности, в которой перечисляются всевозможные значения входящих логических переменных и соответствующие значения функций.
Количество строк q определяется по формуле q=2n, где n – количество логических переменных.
Рассмотрим логические операции:
Отрицание(Инверсия)–делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным.
Обозначается: 
Таблица истинности:
| А | не А |
Например:
А = {На улице идут снег}
не А = {Неверно, что на улице идет сне}
не А = {На улице не идет снег}
– инвекртор.
Логическое умножение (конъюнкция)– истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.
Обозначается: 
&.
Таблица истинности:
| А | В | F |
Например:
А={Идет дождь}and{светит солнце}.
В={2+6=8}^{20*2=40}
– конъюнктор.
Логическое сложение (дизъюнкция) – истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него высказываний.
Обозначается: +, или, or, Ú.
Таблица истинности
| А | В | F |
Например:
А={5+9=14}или{10*3=20}
В={Олег блондин}Ú{Олег брюнет}
– дизъюнктор.
Закрепление материала.Придумайте высказывания о себе. Пять из которых, будут ложными, и пять истинными. Домашнее задание.Угринович стр.122-125.
Логические функции.
Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если..., то...».
Обозначение «если A то В»: А 
В.
Таблица истинности логической функции импликация
| A | B | F=A B
|
Составное высказывание, образованное с помощью операции логического следования (импликации), ложно тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки (первого высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание).
Например, высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на 5» истинно, т.к. истинны и первое высказывание (предпосылка), и второе высказывание (вывод).
Высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на 3» ложно, т.к. из истинной предпосылки делается ложный вывод.
Однако операция логического следования несколько отличается от обычного понимания слова «следует». Если первое высказывание (предпосылка) ложно, то вне зависимости от истинности или ложности второго высказывания (вывода) составное высказывание истинно. Это можно понимать таким образом, что из неверной предпосылки может следовать что угодно.
В алгебре высказываний все логические функции могут быть сведены путем логических преобразований к трем базовым: логическому умножению, логическому сложению и логическому отрицанию
Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «... тогда и только тогда, когда...».
Эквивалентность «А эквивалентно В» обозначается А~В, «≡» или «↔».
Таблица истинности логической функции эквивалентности
| A | B | F10 |
Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.
Угринович Н.Д. п. 3.5. стр. 132-136
Порядок выполнения логических операций:
Что бы избежать большого количества скобок в логических выражениях, принято следующее соглашение о старшинстве операций.
Первыми выполняются операции в скобках, затем операции в следующем порядке: отрицание, конъюнкция и дизъюнкция слева направо, импликация, эквиваленция.