 |
|
Определение коэффициентов ряда по формулам Фурье.
Понятие ряда Фурье.
Ряды Фурье играют большую роль в математической физике, теории упругости,
электротехнике и особенно их частный случай – тригонометрические ряды Фурье.
Тригонометрическим рядом называют ряд вида
или, символической записи:
(1)
где ω, a0, a1, ., an, ., b0, b1, .,bn, .- постоянные числа (ω>0) .
К изучению таких рядов исторически привели некоторые задачи физики,
например задача о колебаниях струны (XVIII в.), задача о закономерностях в
явлениях теплопроводности и др. В приложениях рассмотрение тригонометрических
рядов, прежде всего связано с задачей представления данного
движения, описанного уравнением у = ƒ(χ), в
виде суммы простейших гармонических колебаний, часто взятых в бесконечно
большом числе, т. е. в качестве суммы ряда вида (1).
Таким образом, мы приходим к следующей задаче: выяснить существует ли для
данной функции ƒ(x) на заданном промежутке такой ряд (1),который сходился
бы на этом промежутке к данной функции. Если это возможно, то говорят, что на
этом промежутке функция ƒ(x) разлагается в тригонометрический ряд.
Ряд (1) сходится в некоторой точке х0, в силу периодичности функций
(n=1,2,..), он окажется сходящимся и во всех точках вида 
(m- любое целое число), и тем самым его сумма S(x) будет (в области сходимости
ряда) периодической функцией: если Sn(x) – n-я частичная сумма этого ряда, то
имеем
а потому и 
, т. е. S(x0+T)=S(x0). Поэтому, говоря о разложении некоторой функции ƒ(x) в ряд вида (1), будем предполагать ƒ(x) периодической функцией.
Определение коэффициентов ряда по формулам Фурье.
Пусть периодическая функция ƒ(х) с периодом 2π такая, что она
представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции в
интервале (-π, π), т. е. является суммой этого ряда:
ƒ(x)=. 
(2)
Предположим, что интеграл от функции, стоящей в левой части этого равенства, равняется сумме интегралов от членов этого ряда. Это будет выполняться, если предположить, что числовой ряд, составленный из коэффициентов данного тригонометрического ряда, абсолютно сходится, т. е.. сходится положительный числовой ряд
(3)
Ряд (1) мажорируем и его можно почленно интегрировать в промежутке (-π, π). Проинтегрируем обе части равенства (2):
.
Вычислим отдельно каждый интеграл, встречающийся в правой части:
,
,
.
Таким образом, 
,
откуда 
. (4)
2.2 Оценка коэффициентов Фурье:
Теорема 1. Пусть функция ƒ(x) периода 2π имеет непрерывную производную ƒ(s)(x) порядка s, удовлетворяющей на всей действительной оси неравенству:
│ ƒ(s)(x)│≤ Ms; (5)
тогда коэффициенты Фурье функции ƒ удовлетворяют неравенству
(6)
Доказательство. Интегрируя по частям и учитывая, что ƒ(-π) = ƒ(π), имеем
Поэтому
Интегрируя правую часть (7) последовательно, учитывая, что производные ƒ΄, ., ƒ(s-1) непрерывны и принимают одинаковые значения в точках t = -π и t = π, а также оценку (5), получим первую оценку (6).
Вторая оценка (6) получается подобным образом.
Теорема 2. Для коэффициентов Фурье ƒ(x) имеет место неравенство
(8)
Доказательство.
Имеем
(9)
Вводя в данном случае замену переменной 
и учитывая, что ƒ(x) – периодическая функция, получим
Складывая (9) и (10), получаем
Отсюда
Аналогичным образом проводим доказательство для bk.
Следствие. Если функция ƒ(x) непрерывна, то её коэффициенты Фурье стремятся к нулю: ak → 0, bk → 0, k → ∞.
2.3 Пространство функций со скалярным произведением:
Функция ƒ(x) называется кусочно-непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на этом отрезке, за исключением, может быть, конечного числа точек, где она имеет разрывы первого рода. Такие точки можно складывать и умножать на действительные числа и получать как результат снова кусочно-непрерывные на отрезке [a, b] функции.
Скалярным произведением двух кусочно-непрерывных на [a, b] (a < b) функций ƒ и φ будем
называть интеграл
(11)
Очевидно для любых кусочно-непрерывных на [a, b] функций ƒ , φ , ψ выполняются свойства:
1) (ƒ , φ ) =( φ, ƒ );
2) (ƒ , ƒ ) и из равенства (ƒ , ƒ ) = 0 следует, что ƒ(x)=0 на [a, b], исключая, быть может, конечное число точек x;
3) (α ƒ + β φ , ψ) = α (ƒ , ψ) + β (φ , ψ), где α, β – произвольные действительные числа.
Множество всех кусочно-непрерывных функций, определенных на отрезке [a,b], для которых введено скалярное произведение по формуле (11), мы будем обозначат 
, и называть пространством 
Замечание 1.
В математике называют пространством 
= (a, b) совокупность функций ƒ(x), интегрируемых в лебеговом смысле на [a, b] вместе со своими квадратами, для которых введено скалярное произведение по формуле (11). Рассматриваемое пространство есть часть . Пространство обладает многими свойствами пространства , но не всеми.
Из свойств 1), 2), 3) следует важное неравенство Буняковского |(ƒ , φ ) | ≤ (ƒ , ƒ )½ (φ , φ )
½, которое на языке интегралов выглядит так:
Величина
называется нормой функции f.
Норма обладает следующими свойствами:
1) || f || ≥ 0, при этом равенство может быть только для нулевой функции f = 0, т. е. функции, равной нулю, за исключением, быть может, конечного числа точек;
2) || ƒ + φ ||≤ || ƒ(x) || || φ ||;
3) || α ƒ || = |α | · || ƒ ||, где α – действительное число.
Второе свойство на языке интегралов выглядит так:
и называется неравенством Минковского.
Говорят, что последовательность функций { fn }, принадлежит к 
, сходится к функции принадлежит в смысле среднего квадратического на [a, b] (или ещё по норме ), если
Отметим, что если последовательность функций ƒn (x) сходится равномерно к функции ƒ(x) на отрезке [a, b], то для достаточно больших n разность ƒ(x) - ƒn (x) по абсолютной величине должна быть мала для всех х из отрезка [a, b].
В случае же, если ƒn (x) стремится к ƒ(x)в смысле среднего квадратического на отрезке [a, b], то указанная разность может и не быть малой для больших n всюду на [a, b]. В отдельных местах отрезка [a, b] эта разность может быть и велика, но важно только, чтобы интегралот её квадрата по отрезку [a, b] был мал для больших n.
Пример. Пусть на [0, l ] заданна изображенная на рисунке непрерывная кусочно-линейная функция ƒn (x) (n = 1, 2,.), причем
При любом натуральном n 
и, следовательно, эта последовательность функций, хотя и сходится к нулю при n → ∞, но неравномерно. Между тем
т. е. последовательность функций {fn (х)} стремится к нулю в смысле среднего квадратического на [0, 1].
Из элементов некоторой последовательности функций ƒ1, ƒ2,ƒ3,. (принадлежащих ) построим ряд
ƒ1 + ƒ2 + ƒ3 +. (12)
Сумма первых его n членов σ n = ƒ1 + ƒ2 + . + ƒn есть функция, принадлежащая к . Если случится, что в существует функция ƒ такая, что
|| ƒ- σn || → 0 (n → ∞),
то говорят, что ряд (12) сходится к функции ƒ в смысле среднего квадратического и пишут
ƒ = ƒ1 + ƒ2 + ƒ3 +.
Замечание 2.
Можно рассматривать пространство = (a, b) комплекснозначных функций ƒ(x) = ƒ1(x) + i ƒ2(x), где ƒ1(x) и ƒ2(x) – действительные кусочно – непрерывные на [a, b] функции. В этом пространстве функции умножаются на комплексные числа и скалярное произведение функций ƒ(x) = ƒ1(x) + iƒ2(x) и φ(х) = φ1(х) +i φ2(х) определяется следующим образом:
а норма ƒ определяется как величина
