Интегралы от периодических функций.
Пусть ƒ(x) – периодическая функция, с периодом Т, интегрируемая на любом сегменте вида [х0, х0+Т]. Тогда величина интеграла остаётся при любом х0 одной и той же: для любых х0, х0' . Интегралы от некоторых тригонометрических функций. Укажем значения некоторых интегралов: (k = 1,2,.), (13) (k =1,2,..; m =1,2,.), (14) (15) (k =1,2,.; m =1,2,.; k ≠ m), (k =1,2,.) (16) Теперь можем вычислить коэффициенты Фурье ak и bk ряда (2). Для разыскания коэффициента an при каком-либо определенном значении n≠0 умножим обе части равенства (2) на cosnx и произведя математические операции в пределах от –π до π, получим: (17) (18) Коэффициенты, определенные по формулам (4), (17), (18) называются коэффициентами Фурье функции ƒ(x), а составленный тригонометрический ряд (18) с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции ƒ(x). В некоторых случаях, для более узких классов функций, формулы (17), (18) были известны ещё Эйлеру. Таким образом, эти формулы ещё называют формулами Эйлера-Фурье. Обратим внимание, что постоянная в (2) пишется в таком виде, чтобы придать единообразие формулам (17) и (18). Вышеприведенные соображения показывают, что поиски тригонометрического разложения данной функции целесообразно начать с изучения её ряда Фурье, откладывая на потом строгое изучение вопроса о том, для каких функций ряд сходится, и притом именно к данной функции. Пока же этого не сделано, функции ƒ(x) сопоставляют её формальный ряд Фурье, что обычно записывают в виде: ƒ(x) ~ , (19) про который известно, что его коэффициенты вычислены по функции ƒ(x) по формулам Эйлера – Фурье (4), (17) и (18), но ничего не утверждается о его сходимости и тем более – о его сходимости к данной функции. Из определения ряда Фурье не следует, что функция должна в него разлагаться. Из сказанного выше следует только, что некоторая функция допускает разложение в равномерно сходящийся ряд вида (19), то этот ряд будет её рядом Фурье.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|