Здавалка
Главная | Обратная связь

Ожидаемое значение дискретной случайной величины

ТЕМА 4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ПЛАН

1. Понятие случайной величины (СВ). Дискретные (ДСВ) и непрерывные (НСВ) случайные величины.
2. Закон распределения СВ
3. Ряд распределения СВ
4. Функция распределения вероятностей - F(x)
5. Свойства функции F(x)
6. Независимость случайных величин и математические операции над СВ
7. Ожидаемое значение ДСВ
8. Свойства математического ожидания ДСВ
9. Дисперсия ДСВ
10. Свойства дисперсии ДСВ

Случайной величиной (СВ) называется величина, которая в результате испытания может принять одно из возможных своих значений, причем неизвестно заранее- какое именно.

СВ обозначаются: X,Y,Z,...

Для того, чтобы знать СВ, прежде всего необходимо знать те значения, которые она может принимать. Они обозначаются маленькими буквами.

Например : СВ Х принимает значения:

х1, х 2, ..., хn

Дискретной (прерывной) СВ называется СВ, принимающая отдельные друг от друга значения, которые можно пронумеровать.

 
 


х1 х2 Х

Непрерывной СВназывается такая СВ, которая может принимать любые значения некоторого промежутка (своего для каждой СВ).

Характерным для непрерывной СВ является то, что ее возможные значения заполняют некоторый интервал, перечислить все возможные значения непрерывной СВ нельзя. А можно только указать границы, в которых они заключены.

 

 

Появление тех или иных значений СВ можно рассматривать как события, а различным событиям в общем случае соответствуют различные вероятности. Поэтому возможные значения СВ отличаются между собой с вероятностной точки зрения.

Например, при бросании двух игральных кубиков такие значения СВ Z=X+Y как z=2 и z=8 находятся в «неодинаковых условиях». Значение z=2 может появиться только в одном случае, когда x1 =1и y1=1, а значение z=8 может появиться в пяти случаях. Отсюда следует, что вероятность появления z=2 меньше, чем вероятность появления z=8.

Таким образом, перечисление всех возможных значений СВ не дает достаточно полного представления о ней. Кроме того, необходимо знать как часто могут появляться те или иные её значения в результате испытаний, проводящихся в одинаковых условиях, т.е. надо знать вероятности их появления.

Рассмотрим ДСВ Х с возможными значениями Х=х1, Х=х2, Х=х3,…, Х=хn

В результате опыта СВ примет одно и только одно из этих значений. Другими словами, произойдет одно из несовместных событий, образующих полную группу: Х=х1, Х=х2, Х=х3,…, Х=хn. Обозначим вероятность этих событий буквами р с соответствующими индексами: Р(Х=х1)=р1, Р(Х=х2)=р2, Р(Х=х3)=р3,…, Р(Х=хn)=рn. Так как указанные события образуют полную группу, то сумма вероятностей появления возможных значений СВ =1, т.е.

(1)

Если же множество значений СВ образует бесконечное, но счетное множество, то ряд сходится и его сумма равна 1.

Таким образом, суммарная вероятность распределена между всеми значениями СВ.

Определив все возможные значения СВ Х и правило, по которому каждому событию Х=х1, Х=х2, Х=х3,…, Х=хn ставится в соответствие вероятность , то есть правило распределения вероятностей между значениями СВ, можно получить полное представление о СВ.

 

 

Законом распределения СВ называется всякое соотношение, устанавливающее связь между отдельными возможными значениями СВ (или их совокупностями, заключенными в определенном интервале) и соответствующими им вероятностями.

При помощи закона распределения можно определить:

1) вероятность того, что в результате испытания СВ примет одно из возможных своих значений;

2) вероятность того, что СВ окажется меньше или больше некоторого заданного числа;

3) вероятность попадания СВ на заданный интервал;

4) значения различных числовых характеристик СВ.

 

Эксперимент Случайная величина Возможные значения случайной величины
Контроль качества 70 деталей Число дефектных деталей 0, 1, 2, ..., 70
Строительство жилого дома Процент завершенного строительства спустя 6 месяцев   0 х 100
Проверка степени загрузки операционного отдела банка Число клиентов в течение рабочего дня 0, 1, 2, ..., n
Торговля автомобилями Число продаж в течение месяца 0, 1, 2, ..., n

Закон распределения СВможет иметь разные формы: ряд распределения, функция распределения, плотность распределения.

Рядом распределения дискретной СВ Хназывается таблица, в которой перечислены возможные (различные) значения этой СВ: х1, х2,...,хn с соответствующими им вероятностями р12,...,рn:

хi х1 х2 .... хn
рi р1 р2 .... рn

(2)
Таким образом, СВ Х в результате испытания может принять одно из возможных значений х1, х2,... хn с вероятностями:

Р(Х= x1)= р1, Р (Х= х2)= р2,..., Р(Х= хn)= рn. Так как события (Х= x1), (Х= х2),... ,(Х= хn) составляют полную группу событий, то сумма вероятностей р1, р2,....., рn равна единице:

р12+...+ рn=1 (3)


Ряд распределения можно изобразить графически. Для этого по оси абсцисс откладывают возможные значения СВ, а на оси ординат- их соответствующие вероятности. Точки (хi, хi ) соединяют отрезками прямых.


Рис.1.


Пример 1. Каждый день местная газета получает заказы на новые рекламные объявления, которые будут напечатаны на следующий день. Число рекламных объявлений в газете зависит от многих факторов: дня недели, сезона, общего состояния экономики, активности местного бизнеса и т.д. Пусть Х - число новых рекламных объявлений, напечатанных в местной газете в определенный день.

Х - СВ, которая может быть только целым числом.

СВ Х принимает значения 0, 1, 2, 3, 4, 5 с вероятностями 0,1; 0,2; 0,3; 0,2; 0,1; 0,1 соответственно.

Таблица 1

Ряд распределения случайной величины Х – «Число рекламных объявлений»

Х=xi
P(X)=pi 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 0,1

 

Вероятность того, что в определенный день будут напечатаны 3 объявления, равна 0,2, а 2 объявления - 0,3 и т.д. Поскольку появления различных значений случайной величины Х - несовместные события, то вероятность того, что в газету будут помещены или 2 или 3 рекламных объявления, - равна сумме вероятностей Р(2) + Р(3) = 0,3 +0,2 = 0,5. Вероятность же того, что их число будет находиться в пределах от 1 до 4 (включая 1 и 4), равна 0,8, то есть Р(1 Х 4) = 0,9; а Р(Х = 0) = 0,1.

Задание закона распределения СВ в виде ряда распределения не всегда приемлемо, потому что для НСВ множество её возможных значений бесконечно и сплошь заполняет некоторый промежуток. Можно находить вероятности её значений в различных интервалах, в которых она обладает различными и отличными от нуля вероятностями.

Для НСВ также можно определить закон распределения вероятностей, но в ином, чем для ДСВ виде.

Для количественной характеристики распределения НСВ Х рассматривают не вероятность события (Х=х), а вероятность события (Х<х), где х- произвольное действительное число.

Для нас представляет интерес вероятность события, состоящего в том, что в результате опыта СВ Х приняла значение, которое оказалось меньше фиксированного х. Если х изменяется произвольно, то и вероятность выполнения неравенства Х<x в общем случае будет изменяться. Следовательно, вероятность Р(Х<x) является функцией аргумента х. Обозначим эту функцию как F(x).

Функцией распределения (интегральной функцией распределения) называется функция F(х), определяющая для каждого значения х вероятность того, что СВ Х примет значение, меньшее х, т.е. F(x)= P (X<x) (4) геометрически:

 

F(x) - есть вероятность того, что случайная точка Х окажется левее фиксируемой точки.

Итак, СВ Х можно рассматривать как случайную точку на числовой оси.

Пусть на оси выбрана конкретная точка х, тогда в результате опыта случайная точка Х может оказаться левее или правее выбранной нами точки. Очевидно, что вероятность того, что случайная точка Х окажется левее точки х будет зависеть от положения точки х, то есть являться функцией аргумента х.

Для дискретной СВ Х, которая может принимать значения х1, х2,...,хn , функция распределения примет вид

(5)

где неравенство хi<x под знаком суммы означает, что суммирование касается тех значений хi, величина которых меньше х.

Поясним эту формулу, исходя из определения F(x). Предположим, что аргумент х принял какое-то определенное значение, но такое, что выполняется неравенство . Тогда левее числа х на числовой оси окажутся только те значения, которые имеют индекс 1,2,3,…,i. Поэтому неравенство X<x выполняется, если величина Х примет значение xk, где k=1,2,3,…,i . Таким образом, событие X<x наступит, если наступит любое, неважно какое, из событий X=x1, X=x2, X=x3, …, X=xi . Так как эти события несовместные, то по теореме сложения вероятностей имеем

Функция распределения (интегральная функция распределения) существует как для дискретных, так и для непрерывных СВ.

F(х) является универсальной формой закона распределения.

Построим функцию распределения, ряд которой представлен в (2), то есть

при
при
при
при
при
при

 

Для примера 1 построим функцию распределения случайной величины Х - числа рекламных объявлений.

Случайная величина Х не принимает значений, меньших 0. Следовательно, если х 0, то событие Х < х - невозможно, а вероятность его равна нулю. Поэтому функция распределения случайной величины Х для всех значений х 0 также равна 0. Для всех х, удовлетворяющих двойному неравенству 0 < х 1, функция F(x) означает вероятность события X < 0,2. Но случайная величина Х принимает значение, меньшее 0,2, лишь в одном случае: значение 0 с вероятностью 0,1.

 

 

Покажем, что для всех х, удовлетворяющих двойному неравенству 1<х 2, F(x) = 0,1 + 0,2 = 0,3. Пусть, например, х = 2. Тогда F(2) выражает вероятность события Х < 2. Это возможно в двух случаях: или случайная величина Х принимает значение 0 (с вероятностью 0,1), или 1 (с вероятностью 0,2). Применяя теорему сложения вероятностей, мы и получим указанное значение функции F(x) при х=2.

Аналогичные рассуждения позволяют найти функцию распределения. Запишем ее в табличной форме.

Таблица 3

Функция распределения (интегральная функция распределения) для примера 3

x x£0 0<х 1 1<x 2 2<х 3 3<х 4 4<х 5 x>5
F(x) 0 0,1 0,3 0,6 0,8 0,9 1

или F(x) можно записать так:

F(x)=

 

 

Интегральная функция - неубывающая и равна единице при х большем наибольшего возможного значения СВ.

Для ДСВ график представляет собой разрывную ступенчатую линию. Когда переменная Х проходит через какое-либо из возможных значений СВ, значение функции распределения меняется скачкообразно, то есть функция имеет скачок в тех точках, в которых СВ принимает конкретное значение согласно ряду распределения, причем величина скачка равна вероятности этого значения. Сумма величин всех скачков равна 1. В интервалах между значениями СВ функция F(x) постоянна.

 

 

Введем понятие независимости случайных величин.

Если рассматривать не одну, а две или более случайных величин (системы случайных величин), то необходимо знать, изменяется или не изменяется закон распределения одной из них в зависимости от того, какое значение принимают другие случайные величины.

Если закон распределения одной случайной величины не зависит от того, какие возможные значения приняли другие случайные величины, то такие случайные величины называются независимыми в совокупности.

Если закон распределения одной случайной величины зависит от того, какие возможные значения приняли другие случайные величины, то такие случайные величины называются зависимыми в совокупности.

Например, Вы купили два лотерейных билета различных выпусков. Пусть Х - размер выигрыша на первый билет, а У - размер выигрыша на второй билет. Случайные величины Х и У - независимые. В самом деле, если на первый билет выпал выигрыш, то закон распределения У не изменится. Но если купленные лотерейные билеты одного и того же выпуска, то Х и У являются зависимыми случайными величинами.

Пусть случайная величина Х принимает значения: х1, х2, ..., хn с вероятностью р1, р2, ..., рn , а случайная величина У принимает значения y1, y2, ..., ym с вероятностями q1, q2, ..., qm.

Определим некоторые операции над случайными величинами.

1. Произведение случайной величины Х на постоянную величину С есть случайная величина СХ, которая принимает значения Сх1, Сх2, ... Схп с теми же вероятностями, что и случайная величина Х.

2. Квадрат случайной величины Х, то есть Х2 - это случайная величина, которая принимает свои значения х , х , ..., х с теми же вероятностями, что и случайная величина Х.

3. Суммой случайных величин Х и У называется случайная величина Х+У, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением У, а вероятности возможных значений Х+У для независимых величин Х и У равны произведению вероятностей слагаемых; для зависимых величин - произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго.

4. Произведением независимых случайных величин Х и У называется случайная величина ХУ, возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения Х на каждое возможное значение У, а вероятности возможных значений произведения ХУ равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей.

 

 

Ожидаемое значение дискретной случайной величины

 

Предположим, что Вы подбрасываете монету. Если выпадет герб, то Вы выигрываете одно очко, если цифра, - проигрываете очко. Чему равен Ваш ожидаемый выигрыш? Интуитивно понятно, что Вы имеет равные шансы как выиграть , так и проиграть одну и ту же сумму очков, и, следовательно, в среднем ожидаемый выигрыш будет равен нулю.

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х равно сумме произведений значений случайной величины на соответствующие им вероятности

М(х) = хi Р(хi) = хipi (12)

Ваш выигрыш в опыте с подбрасыванием монеты - случайная величина и мы можем вычислить ожидаемое значение как сумму вероятностей выигрыша и проигрыша, используя формулу (12): М(Х)=1×1/2+(-1)×1/2=0. Следовательно, определение ожидаемого среднего значения случайной величины согласуется с нашей интуицией.

 

 





©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.