 |
|
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Признаки сходимости числовых рядов
Необходимый признак сходимости числового ряда:
Если ряд 
сходится, то 
.
Данный признак означает, что если 
, то ряд расходится. Например, 
расходится, так как 
. Из выполнения условия в общем случае не следует сходимость ряда . Например, для ряда 
(гармонический ряд), условие 
выполнено, но данный ряд расходится.
Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов
Признаки сравнения
Если 
, и ряд 
сходится, то сходится и ряд .
Если , и ряд расходится, то расходится и ряд .
Признаки сравнения можно сформулировать в такой форме:
Если заданы ряды , и существует 
, то ряды и сходятся либо расходятся одновременно.
Пример:
1. Исследуем сходимость ряда 
. Очевидно, что 
. Так как гармонический ряд расходится, то и ряд 
также расходящийся, и, согласно признаку сравнения, данный ряд расходится.
2. Исследовать сходимость ряда 
. Имеем: 
. Ряд 
сходится как сумма геометрической прогрессии со знаменателем 
. Следовательно, согласно признаку сравнения ряд сходится.
Признак Д’Аламбера
Если существует 
то:
- при 
ряд сходится;
- при 
ряд расходится.
Радикальный признак Коши
Если существует 
то:
- при ряд сходится;
- при ряд расходится.
Интегральный признак Коши
Пусть задан ряд 
, члены которого являются значениями непрерывной, положительной и монотонно убывающей функции 
на промежутке 
. Тогда ряд 
сходится, если сходится несобственный интеграл 
. Если же расходится, то ряд также будет расходящимся.
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
Признак Лейбница (достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов)
Ряд 
сходится, если:
- ;
- 
.
Знакопеременный ряд называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд 
.
Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называют сходящимся условно.
Очевидно, что если ряд сходится, то ряд также сходится. Обратное утверждение в общем случае неверно.