Здавалка
Главная | Обратная связь

Пример. Разложение нечетной функции в ряд Фурье.

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Разложение в ряд Фурье четной функции f (x) с периодом 2π не содержит синусов и имеет вид

где коэффициенты Фурье определяются выражениями

Аналогично, разложение в ряд Фурье нечетной функции f (x), имеющей период 2π содержит только синусы и имеет вид

где ы bn равны

 

Пример. Разложение четной функции в ряд Фурье.

Предположим, что f (x) является периодической функцией с периодом 2π. Пусть f(x)=x2 для x ϵ [-π;π].

Решение.

Так как функция четная, то коэффициенты bn = 0. Тогда

Применим дважды интегрирование по частям.

Поскольку и для натуральных n, то получаем

Тогда разложение функции в ряд Фурье имеет вид

 

Пример. Разложение нечетной функции в ряд Фурье.

Предположим, что f (x) является периодической функцией с периодом 2π. Пусть f(x)=x3 для x ϵ [-2;2].

 

Тогда разложение функции в ряд Фурье имеет вид:

.


 

Иногда математическое ожидание и дисперсия не выявляют различий между двумя функциями, имеющими различную внутреннюю структуру. Для этого вводится специальная характеристика корреляционная функция. Она характеризует степень зависимости между сечениями случайной функции, относящимся к различным t. Степень зависимости величин Х(t) и Х(t’) может быть в значительной мере охарактеризована их корреляционным моментом, который является функцией двух переменных. Эта функция называется корреляционной функцией.

Корреляционной функцией случайной функции Х(t) называется неслучайная функция двух аргументов Kx(t,t;), которая при каждой паре значений t, t’ равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции:

Kx(t,t’) = M[X(t)X(t’)],

где X(t) = X(t) – mx(t), X(t’) = X(t’) – mx(t’)

Если t = t’, то корреляционная функция обращается в дисперсию.

– При перестановке аргументов корреляционная функция не изменяется.

– При прибавлении к случайной функции неслуч. слагаемого корреляционная функция не меняется.

– При умножении случайной функции на неслучайный показатель f(t) ее корреляционная функция умножается на произведение f(t1)f(t2)

 

Вместо корреляционной функции Kx(t,t’) можно пользоваться нормированной корреляционной функцией.

Нормированной корреляционной функциейслучайной функции X(t) называют неслучайную функцию двух независимых переменных t1 и t2, значение которой при каждой паре фиксированных значений аргументов равно коэффициенту корреляции сечений, соответствующих этим же фиксированным значениям аргументов.

Учитывая, что и , получим:

При t = t’ нормированная корреляционная функция равна единице.

Взаимной корреляционной функцией двух случайных функций X(t) и Y(t) называют неслучайную функцию Rxy(t1,t2) двух независимых аргументов, значение которой при каждой паре фиксированных аргументов равно корреляционному моменту сечений обеих функций, соответствующих этим же фиксированным значениям аргументов:

Взаимнокорреляционная функция — стандартный метод оценки степени корреляции двух последовательностей. Рассмотрим два ряда f и g. Взаимная корреляция определяется по формуле:

,

 

где i — сдвиг между последовательностями относительно друг друга, а верхний индекс в виде звёздочки означает комплексное сопряжение. В общем случае, для непрерывных функций f (x) и g (x) взаимная корреляция определяется как:

Если X и Y — два независимых случайных числа с функциями распределения вероятностей соответственно f и g, тогда взаимная корреляция f * g соответствует распределению вероятностей выражения − X + Y. Напротив, свёртка f * g соответствует распределению вероятностей суммы X + Y.

Автокорреляция — статистическая взаимосвязь между случайными величинами из одного ряда, но взятых со сдвигом, например, для случайного процесса — со сдвигом по времени.

В обработке сигналов автокорреляционная функция (АКФ) определяется интегралом:

и показывает связь сигнала (функции ) с копией самого себя, смещённого на величину .

В теории случайных функций АКФ является корреляционным моментом двух значений одной случайной функции :

Здесь , а — математическое ожидание.

График автокорреляционной функции можно получить, отложив по оси ординат коэффициент корреляции двух функций (базовой и функции сдвинутой на величину ) а по оси абсцисс величину . Если исходная функция строго периодическая, то на графике автокорреляционной функции тоже будет строго периодическая функция. Таким образом, из этого графика можно судить о периодичности базовой функции, а следовательно, и о её частотных характеристиках. Это применяется для анализа сложных колебаний, например электроэнцефалограммы человека.

Спектральное разложение (спектральная плотность) функции, разложение функции в ряд по собственным функциям некоторого линейного оператора (например, конечно-разностного, дифференциального или интегрального), действующего в функциональном пространстве, или одно из возможных обобщений такого разложения. Частным случаем спектральное разложение (линейная алгебра) является разложение функции, заданной на конечном отрезке, в Фурье ряд (т. е. гармонический анализ колебаний), а также разложения по другим известным полным системам функций.

Ряд Фурье, тригонометрический ряд, служащий для разложения периодической функции на гармонические компоненты. Если функция f (x) имеет период 2T, то её Фурье ряд имеет вид

,

где a0, an, bn – коэффициенты Фурье.

 





©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.