 |
|
Необходимый признак сходимости ряда
Понятие числового положительного ряда
В общем виде положительный числовой ряд можно записать так: 
.
Здесь:
– математический значок суммы;
– общий член ряда (запомните этот простой термин);
– переменная-«счётчик». Запись 
обозначает, что проводится суммирование от 1 до «плюс бесконечности», то есть, сначала у нас 
, затем 
, потом 
, и так далее – до бесконечности. Вместо переменной иногда используется переменная 
или 
. Суммирование не обязательно начинается с единицы, в ряде случаев оно может начинаться с нуля 
, с двойки 
либо с любого натурального числа.
1. Ряд 
расходится. Это значит, что бесконечная сумма равна бесконечности: 
. Хороший пример расходящегося числового ряда встретился в начале урока: 
. Здесь совершенно очевидно, что каждый следующий член ряда – больше, чем предыдущий, поэтому 
и, значит, ряд расходится. Чуть ниже мы рассмотрим более строгий математический критерий для данного примера.
2. Ряд сходится. Это значит, что бесконечная сумма равна некоторому конечному числу 
: 
. В качестве примера сходящегося числового ряда можно привести бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, известную нам со школы: 
. Сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти по формуле: 
, где 
– первый член прогрессии, 
– основание прогрессии. В данном случае: 
, 
. Таким образом: 
. Получено конечное число, значит, ряд 
сходится, что и требовалось доказать.
Необходимый признак сходимости ряда
Я не буду записывать сам признак (его можно найти в любом учебнике), а сформулирую очевидное следствие:
1.Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится
Или короче: Если 
, то ряд расходится.
Пример 6
Исследовать ряд на сходимость 
В числителе и знаменателе у нас находятся многочлены. Тот, кто внимательно прочитал и осмыслил метод раскрытия неопределенности 
в статье Пределы. Примеры решений, наверняка уловил, что когда старшие степени числителя и знаменателя равны, тогда предел равен конечному числу.
Решаем:
Делим числитель и знаменатель на
Исследуемый ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
Готово.
Итак,когда нам дан ЛЮБОЙ ряд, в первую очередь проверяем (мысленно или на черновике): а стремится ли общий член к нулю? Если не стремится – оформляем решение по образцу примеров №№6,7 и даём ответ о том, что ряд расходится.
2.Также следует запомнить понятие обобщенного гармонического ряда:
1) Данный ряд расходится при 
. Например, расходятся ряды 
, 
, 
.
2) Данный ряд сходится при 
. Например, сходятся ряды 
, 
, 
. Еще раз подчеркиваю, что почти во всех практических заданиях нам совершенно не важно, чему равна сумма, например, ряда , важен сам факт, что он сходится.
Это элементарные факты из теории рядов, которые уже доказаны, и при решении какого-нибудь практического примера можно смело ссылаться, например, на расходимость ряда или сходимость ряда .
3.Признак сравнения:Рассмотрим два положительных числовых ряда и 
. Если известно, что ряд – сходится, и выполнено неравенство 
(для 
), то ряд тоже сходится.
Пример 8
Исследовать ряд на сходимость 
Заглядываем в «пачку» обобщенного гармонического ряда и находим похожий ряд: . Из теории известно, что он сходится. Теперь нам нужно показать, что всех значений справедливо неравенство 
.
Если , то 
Если , то 
Если , то 
Если 
, то 
….
И так далее.
Оформить решение можно так:
“
Сравним исследуемый ряд со сходящимся рядом . Используем признак сравнения. Для рассматриваемых рядов выполнено неравенство , значит, по признаку сравнения исследуемый ряд сходится вместе с рядом .
”
В принципе, можно расписать и подробнее, указав, что неравенство выполняется для нескольких первых членов.
Проанализируем признак сравнения и решенный пример с неформальной точки зрения. Все-таки, почему ряд сходится? А вот почему. В теории доказано, что ряд сходится, значит, он имеет некоторую конечную сумму : 
. Если все члены ряда меньше соответствующих членов ряда , то ясен пень, что сумма ряда не может быть больше числа , и тем более, не может равняться бесконечности!
Аналогично можно доказать сходимость «похожих» рядов: 
, 
, 
и т.д.
! Обратите внимание, что во всех случаях в знаменателях у нас находятся «плюсы». Если есть минусы, то рассматриваемый признак сравнения может не дать результата. Например, рассмотрим ряд 
. Попробуйте аналогично сравнить его со сходящимся рядом 
, выпишите несколько неравенств для первых членов. Вы увидите, что неравенство не выполняется и признак не дает нам ответа. Придется использовать другой признак, чтобы выяснить, сходится этот ряд или нет.
Пример 9
Исследовать ряд на сходимость 
В примере я предлагаю самостоятельно рассмотреть вторую «зеркальную» часть теоремы: Если известно, что ряд – расходится, и выполнено неравенство 
(для ), то ряд тоже расходится.
Иными словами: Из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с бОльшими членами.
Что нужно сделать?
Нужно сравнить исследуемый ряд с расходящимся гармоническим рядом : построить несколько неравенств и сделать вывод о справедливости неравенства .
Решение и образец оформления в конце урока.
4.Предельный признак сравнения:Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если предел отношения общих членов этого ряда равен конечному, отличному от нуля числу : 
, то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
Когда применяется предельный признак сравнения?Предельный признак сравнения применяется тогда, когда «начинкой» ряда у нас являются многочлены. Либо один многочлен в знаменателе, либо многочлены и в числители и в знаменателе. Один или оба многочлена также могут находиться под корнем.
Пример 12
Исследовать ряд на сходимость 
Подбираем ряд для сравнения 
.
1) Сначала нужно найти старшую степень знаменателя. Если бы не было корня, то, понятно, что старшая степень знаменателя равнялась бы четырем. Что делать, когда есть корень? Мысленно или на черновике отбрасываем все члены, кроме старшего: 
. Если есть константа, её тоже отбрасываем: 
. Теперь извлекаем корень: 
. Таким образом, старшая степень знаменателя равна двум.
2) Выясняем старшую степень числителя. Очевидно, что она равна единице.
3) Из старшей степени знаменателя вычитаем старшую степень числителя: 2 – 1 = 1
Таким образом, наш ряд нужно сравнить с рядом 
, то есть, с расходящимся гармоническим рядом.Само оформление решения должно выглядеть примерно так:
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом . Используем предельный признак сравнения:
Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим рядом .
Признак Даламбера
Сначала начнем с повторения. Вспомним случаи, когда нужно применять самый ходовой предельный признак сравнения. Предельный признак сравнения применяется тогда, когда в общем члене ряда:
1) В знаменателе находится многочлен.
2) Многочлены находятся и в числителе и в знаменателе.
3) Один или оба многочлена могут быть под корнем.
Признак Даламбера: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: 
, то:
а) При 
ряд сходится. В частности, ряд сходится при 
.
б) При 
ряд расходится. В частности, ряд расходится при 
.
в) При 
признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Чаще всего единица получается в том случае, когда признак Даламбера пытаются применить там, где нужно использовать предельный признак сравнения.
1) В общий член ряда («начинку» ряда) входит какое-нибудь число в степени, например, 
, 
, 
и так далее. Причем, совершенно не важно, где эта штуковина располагается, в числителе или в знаменателе – важно, что она там присутствует.
2) В общий член ряда входит факториал. Что такое факториал? Ничего сложного, факториал – это просто свёрнутая запись произведения:
…
…
! При использовании признака Даламбера нам как раз придется расписывать факториал подробно. Как и в предыдущем пункте, факториал может располагаться вверху или внизу дроби.
3) Если в общем члене ряда есть «цепочка множителей», например, 
. Этот случай встречается редко, но! При исследовании такого ряда часто допускают ошибку – см. Пример 6.
Пример 1
Исследовать ряд на сходимость 
Мы видим, что в общем члене ряда у нас есть 
, а это верная предпосылка того, что нужно использовать признак Даламбера. Сначала полное решение и образец оформления, комментарии ниже.
Используем признак Даламбера:
Таким образом, исследуемый ряд сходится.
(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему: 
. Из условия мы видим, что общий член ряда 
. Для того, чтобы получить следующий член ряда необходимо вместо подставить 
: 
.
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби. При определенном опыте решения этот шаг можно пропускать.
(3) В числителе раскрываем скобки. В знаменателе выносим четверку из степени.
(4) Сокращаем на . Константу 
выносим за знак предела. В числителе в скобках приводим подобные слагаемые.
(5) Неопределенность 
устраняется стандартным способом – делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени.
(6) Почленно делим числители на знаменатели, и указываем слагаемые, которые стремятся к нулю.
(7) Упрощаем ответ и делаем пометку, что 
с выводом о том, что, по признаку Даламбера исследуемый ряд сходится.
В рассмотренном примере в общем члене ряда у нас встретился многочлен 2-ой степени. Что делать, если там многочлен 3-ей, 4-ой или более высокой степени? Дело в том, что если дан многочлен более высокой степени, то возникнут трудности с раскрытием скобок. В этом случае можно применять «турбо»-метод решения.
Пример 2
Возьмём похожий ряд и исследуем его на сходимость
Сначала полное решение, потом комментарии:
Используем признак Даламбера:
Таким образом, исследуемый ряд сходится.
(1) Составляем отношение .
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) Рассмотрим выражение 
в числителе и выражение 
в знаменателе. Мы видим, что в числителе нужно раскрывать скобки и возводить в четвертую степень: 
, чего делать совершенно не хочется. Кроме того, для тех, кто не знаком с биномом Ньютона, данная задача вообще может оказаться невыполнимой. Проанализируем старшие степени: если мы вверху раскроем скобки 
, то получим старшую степень 
. Внизу у нас такая же старшая степень: . По аналогии с предыдущим примером, очевидно, что при почленном делении числителя и знаменателя на у нас в пределе получится единица. Или, как говорят математики, многочлены и 
– одного порядка роста. Таким образом, вполне можно обвести отношение 
простым карандашом и сразу указать, что эта штука стремится к единице. Аналогично расправляемся со второй парой многочленов: и 
, они тоже одного порядка роста, и их отношение стремится к единице.
На самом деле, такую «халтуру» можно было провернуть и в Примере №1, но для многочлена 2-ой степени такое решение смотрится всё-таки как-то несолидно. Лично я поступаю так: если есть многочлен (или многочлены) первой или второй степени, я использую «длинный» способ решения Примера 1. Если попадается многочлен 3-ей и более высоких степеней, я использую «турбо»-метод по образцу Примера 2.
Пример 3
Исследовать ряд на сходимость 
Полное решение и образец оформления в конце урока
Рассмотрим типовые примеры с факториалами:
Пример 4
Исследовать ряд на сходимость 
В общий член ряда входит и степень, и факториал. Ясно, как день, что здесь надо использовать признак Даламбера. Решаем.
Таким образом, исследуемый ряд расходится.
(1) Составляем отношение . Повторяем еще раз. По условию общий член ряда: 
. Для того чтобы получить следующий член ряда, вместо нужно подставить , таким образом: 
.
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) Отщипываем семерку от степени. Факториалы расписываем подробно. Как это сделать – см. начало урока.
(4) Сокращаем всё, что можно сократить.
(5) Константу 
выносим за знак предела. В числителе раскрываем скобки.
(6) Неопределенность устраняем стандартным способом – делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени.
Пример 5
Исследовать ряд на сходимость 
Полное решение и образец оформления в конце урока
Пример 6
Исследовать ряд на сходимость 
Иногда встречаются ряды, которые в своей начинке содержат «цепь» множителей, этот тип ряда мы еще не рассматривали. Как исследовать ряд с «цепочкой» множителей? Использовать признак Даламбера. Но сначала для понимания происходящего распишем ряд подробно:
Из разложения мы видим, что у каждого следующего члена ряда добавляется дополнительный множитель в знаменателе, поэтому, если общий член ряда 
, то следующий член ряда:
. Вот здесь часто автоматом допускают ошибку, формально по алгоритму записывая, что 
Примерный образец решения может выглядеть так:
Используем признак Даламбера:
Таким образом, исследуемый ряд сходится.