 |
|
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Примеры решений
Как исследовать знакочередующийся ряд на сходимость?Использовать признак Лейбница. Про немецкого гиганта мысли Готфрида Вильгельма Лейбница я рассказывать ничего не хочу, так как помимо математических трудов, он накатал несколько томов по философии. Опасно для мозга.
Признак Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда убывают по модулю, то ряд сходится.
Или в два пункта:
1) Ряд является знакочередующимся.
2) Члены ряда убывают по модулю. То есть, 
.
Если выполнены оба условия, то ряд сходится.
Вернемся к ряду 
. Мысленно сотрём все знаки и посмотрим только на числа. Мы увидим, что каждый следующий член ряда меньше, чем предыдущий. Таким образом, следующие фразы обозначает одно и то же:
– Члены ряда без учёта знака убывают.
– Члены ряда убывают по модулю.
– Члены ряда убывают по абсолютной величине.
– Модуль общего члена ряда стремится к нулю:
Пример 1
Исследовать ряд на сходимость 
В общий член ряда входит множитель 
, а значит, нужно использовать признак Лейбница
1) Проверка ряда на знакочередование. Обычно в этом пункте решения ряд расписывают подробно 
и выносят вердикт «Ряд является знакочередующимся».
2) Убывают ли члены ряда по модулю? Необходимо решить предел 
, который чаще всего является очень простым.
– члены ряда не убывают по модулю.
Вывод: ряд расходится.
Как разобраться, чему равно 
? Очень просто. Как известно, модуль уничтожает минусы, поэтому для того, чтобы составить 
, нужно просто убрать с крыши проблесковый маячок. В данном случае общий член ряда 
. Тупо убираем «мигалку»: 
Пример 3
Исследовать ряд на сходимость 
Используем признак Лейбница:
1) 
Данный ряд является знакочередующимся.
2) 
– члены ряда убывают по модулю.
Вывод: Ряд сходится.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
Анализируя начинку ряда, приходим к выводу, что здесь нужно использовать предельный признак сравнения. Скобки в знаменателе удобнее раскрыть:
Сравним данный ряд со сходящимся рядом 
. Используем предельный признак сравнения.
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд 
сходится вместе с рядом .
Исследуемый ряд сходится абсолютно.
Готово.
Пример 4
Исследовать ряд на сходимость 
Пример 5
Исследовать ряд на сходимость 
Это примеры для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления в конце урока.
Как видите, знакочередующиеся ряды – это просто и занудно! Но не спешите закрывать страницу, всего через пару экранов мы рассмотрим случай, которых многих ставит в тупик. А пока еще пара примеров для тренировки и повторения.
Пример 6
Исследовать ряд на сходимость 
Используем признак Лейбница.
1) Ряд является знакочередующимся.
2)
Члены ряда убывают по модулю.
Вывод: ряд сходится.
Обратите внимание, что я не расписал подробно члены ряда. Их всегда желательно расписывать, но от непреодолимой лени в «тяжелых» случаях можно ограничиться фразой «Ряд является знакочередующимся». Кстати, не нужно относиться к этому пункту формально, всегда проверяем (хотя бы мысленно) что ряд действительно знакочередуется. Беглый взгляд подводит, и ошибка допускается «на автомате». Помните об «обманках» 
, 
, 
, если они есть, то от них нужно избавиться, получив «обычный» ряд с положительными членами.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
Очевидно, что нужно использовать радикальный признак Коши:
Таким образом, ряд 
сходится.
Исследуемый ряд сходится абсолютно.
Пример 8
Исследовать ряд на сходимость 
Используем признак Лейбница:
1) Ряд является знакочередующимся.
2) 
Дело в том, что не существует стандартных обыденных приемов для решения подобных пределов. Куда стремится такой предел? К нулю, к бесконечности? Здесь важно, ЧТО на бесконечности растёт быстрее – числитель или знаменатель. Если числитель 
при 
растёт быстрее факториала, то 
. Если, на бесконечности факториал растёт быстрее числителя, то он, наоборот – «утянет» предел на ноль: 
. А может быть этот предел равен какому-нибудь отличному от нуля числу?
Попробуем записать несколько первых членов ряда:
Создается стойкое впечатление, что , но где гарантия, что при очень больших «эн» факториал не «обгонит» числитель и не утащит предел на ноль?
Обратимся к теории математического анализа, там давно всё доказано.
Справка
– Факториал растёт быстрее, чем любая показательная последовательность, иными словами: 
или 
. Да хоть миллион в степени «эн», это не меняет дела. Математики говорят, что факториал более высокого порядка роста, чем любая показательная последовательность.
– Факториал растёт быстрее, чем любая степенная последовательность или многочлен, иными словами: 
или 
. Вместо 
можно подставить какой-нибудь многочлен тысячной степени, это опять же не изменит ситуацию – рано или поздно факториал всё равно «перегонит» и такой страшный многочлен. Факториал более высокого порядка роста, чем любая степенная последовательность.
– Факториал растёт быстрее, чем произведение любого количества показательных и степенных последовательностей (наш случай).
– Любая показательная последовательность растёт быстрее, чем любая степенная последовательность, например: 
, 
. Показательная последовательность более высокого порядка роста, чем любая степенная последовательность. Аналогично факториалу, показательная последовательность «перетягивает» произведение любого количества любых степенных последовательностей или многочленов: 
Конец справки
Таким образом, второй пункт исследования (вы еще об этом помните? =)) можно записать так:
2) 
, так как 
более высокого порядка роста, чем .
Члены ряда убывают по модулю.
Вывод: ряд сходится.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
А здесь уже работает старый добрый признак Даламбера:
Используем признак Даламбера:
Таким образом, ряд сходится.
Исследуемый ряд сходится абсолютно.
Разобранный пример можно решить другим способом.
Теорема: Если ряд сходится абсолютно, то он сходится и условно.
Наверное, вы уже заметили, что обратное неверно: если ряд сходится условно, то это еще не значит, что он сходится абсолютно.
Пример 8 «на бис» вторым способом.
Исследовать ряд на сходимость
Решение: Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
Используем признак Даламбера:
…
только что печатал
…
Таким образом, ряд сходится.
По соответствующей теореме из абсолютной сходимости ряда следует и условная сходимость ряда.
Вывод: Исследуемый ряд сходится абсолютно.
Правда, при втором способе решения есть риск, что преподаватель оценит хитро… смекалку студента и забракует задание. А может и не забракует.
И напоследок пара примеров для самостоятельного решения. Один из той же оперы (перечитайте справку), но попроще. Другой для гурманов – на закрепление интегрального признака сходимости.