Здавалка
Главная | Обратная связь

Нехай задана нескінченна послідовність чисел



Числові ряди. Приклади рядів

 

Означення. Вираз вигляду

(1)

називається числовим рядом.

Числа називаються відповідно першим, другим і т.д. членами ряду, - n-ний або загальний член ряду. Він, як правило, задається формулою відносно натурального аргумента n.

Як бачимо з виразу (1), ряд – це нескінченна сума доданків.

Розглянемо приклади окремих рядів.

1. Нехай задана послідовність чисел

які утворюють геометричну прогресію. Відомо, що сума n членів геометричної прогресії знаходиться за формулою

. (2)

Якщо знаменник прогресії , то прогресія спадна, і сума нескінченного числа її членів є не що інше, як ряд

, (3)

і знаходиться, як границя

, (4)

тобто послідовність, так званих часткових сум має своєю сумою число , яке називається сумою ряду (3).

Нагадаємо, що за допомогою ряду (3) можна перетворити нескінченний періодичний десятковий дріб у звичайний. Наприклад,

 

.

За формулою (4) сума цього ряду буде дорівнювати

.

Отже, .

2. Розглянемо ще ряд

. (5)

Знайдемо його часткові суми

Тут видно, що чисельники співпадають з номерами відповідних сум, а знаменники на одиницю більші тобто за індукцією маємо

.

Тоді по аналогії з попереднім прикладом, знайдемо границю часткової суми

,

яку вважають сумою ряду (5).

Зауважимо, що можна було б знайти як розклад дробу на прості за допомогою методу невизначених коефіцієнтів:

,

тоді

.

3. Нехай дано ряд

. (6)

Знайдемо спочатку часткові суми

Тепер знайдемо границю , тобто

Сума ряду (6) нескінченна.

 

4. Число е . Одним із застосувань рядів є наближене обчислення значень функцій за допомогою рядів. Має місце, наприклад, така рівність

, (7)

 

мова про яку йтиме в подальшому викладі, а зараз покажемо, як можна наближено обчислити значення числа е, поклавши в (7) , отримаємо

. (8)

Нагадаємо, що символом (читається ен-факторіал) позначають добуток натуральних чисел від 1 до , тобто

, , , , …,

Часткові суми:

Звернемо увагу на те, що в цих обчисленнях можна обійтись без калькулятора поскільки четвертий доданок у ряді (8) становить третього п’ятий – становить четвертого, шостий - п’ятого і т.д. Результати обчислень запишемо

 

0,5

=0,166666666…

=0,041666666…

=0,008333333…

=0,001388888…

=0,000198412…(9)

=0,000024801…

=0,000002755…

=0,000000275…

=0,000000027…

2,718281823…

Не оцінюючи величину похибки обчислень, зрівняємо отриманий результат з більш точним значенням .

Ми отримали результат з 8 вірними знаками після коми, який є наближеним значенням суми ряду (8). В даному випадку ми не можемо отримати у вигляді формули значенням часткової суми .

5. Розглянемо ряд

(10)

Знайдемо часткові суми

,

,

,

,

……………………..

,

,

тобто часткові суми парної кількості доданків дорівнюють 0, а суми непарної кількості доданків дорівнюють 1. Границя послідовності часткових сум даного ряду не існує.

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.