Нехай задана нескінченна послідовність чиселСтр 1 из 5Следующая ⇒
Числові ряди. Приклади рядів
Означення. Вираз вигляду (1) називається числовим рядом. Числа називаються відповідно першим, другим і т.д. членами ряду, - n-ний або загальний член ряду. Він, як правило, задається формулою відносно натурального аргумента n. Як бачимо з виразу (1), ряд – це нескінченна сума доданків. Розглянемо приклади окремих рядів. 1. Нехай задана послідовність чисел які утворюють геометричну прогресію. Відомо, що сума n членів геометричної прогресії знаходиться за формулою . (2) Якщо знаменник прогресії , то прогресія спадна, і сума нескінченного числа її членів є не що інше, як ряд , (3) і знаходиться, як границя , (4) тобто послідовність, так званих часткових сум має своєю сумою число , яке називається сумою ряду (3). Нагадаємо, що за допомогою ряду (3) можна перетворити нескінченний періодичний десятковий дріб у звичайний. Наприклад,
. За формулою (4) сума цього ряду буде дорівнювати . Отже, . 2. Розглянемо ще ряд . (5) Знайдемо його часткові суми
Тут видно, що чисельники співпадають з номерами відповідних сум, а знаменники на одиницю більші тобто за індукцією маємо . Тоді по аналогії з попереднім прикладом, знайдемо границю часткової суми , яку вважають сумою ряду (5). Зауважимо, що можна було б знайти як розклад дробу на прості за допомогою методу невизначених коефіцієнтів: , тоді . 3. Нехай дано ряд . (6) Знайдемо спочатку часткові суми Тепер знайдемо границю , тобто Сума ряду (6) нескінченна.
4. Число е . Одним із застосувань рядів є наближене обчислення значень функцій за допомогою рядів. Має місце, наприклад, така рівність , (7)
мова про яку йтиме в подальшому викладі, а зараз покажемо, як можна наближено обчислити значення числа е, поклавши в (7) , отримаємо . (8) Нагадаємо, що символом (читається ен-факторіал) позначають добуток натуральних чисел від 1 до , тобто , , , , …, Часткові суми:
Звернемо увагу на те, що в цих обчисленнях можна обійтись без калькулятора поскільки четвертий доданок у ряді (8) становить третього п’ятий – становить четвертого, шостий - п’ятого і т.д. Результати обчислень запишемо
0,5 =0,166666666… =0,041666666… =0,008333333… =0,001388888… =0,000198412…(9) =0,000024801… =0,000002755… =0,000000275… =0,000000027… 2,718281823… Не оцінюючи величину похибки обчислень, зрівняємо отриманий результат з більш точним значенням . Ми отримали результат з 8 вірними знаками після коми, який є наближеним значенням суми ряду (8). В даному випадку ми не можемо отримати у вигляді формули значенням часткової суми . 5. Розглянемо ряд (10) Знайдемо часткові суми , , , , …………………….. , , тобто часткові суми парної кількості доданків дорівнюють 0, а суми непарної кількості доданків дорівнюють 1. Границя послідовності часткових сум даного ряду не існує.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|