Додатні ряди. Достатні ознаки збіжності додатних рядів
Перейдемо до розгляду достатніх ознак збіжності, що стосується додатних рядів, тобто, в яких . Серед достатніх ознак зупинимось на таких: 1) ознака порівняння рядів; 2) ознака Даламбера; 3) ознака Коші (радикальна); 4) інтегральна ознака Коші. Подаємо кожну з наведених ознак у вигляді теорем. 10. Ознака порівняння. Теорема. Нехай задано два ряди. (1) і (2), причому члени першого ряду не перевищують відповідних членів другого ряду, тобто для довільних n . (3) Тоді: 1) із збіжності ряду (2) випливає збіжність ряду (1); 2) із розбіжності ряду (1) випливає розбіжність ряду (2). Доведення. 1) Нехай ряд (2) збіжний, тобто існує границя . Згідно з нерівністю (3) для часткових сум ряду (1) маємо нерівність . Із додатності рядів очевидно, що часткові суми монотонно зростають. Скористаємось ознакою існування границь: якщо послідовність монотонно зростає і обмежена зверху, то вона має границю. Поскільки і , то існує . Отже, ряд (1) збіжний. 2) Якщо ж додатний ряд (1) розбіжний, то при , а, значить, із нерівності , тобто ряд (2) теж розбіжний. Приклади. Дослідити збіжність рядів. 1. . 2. . 3. . 4. . Розв’язання. 1. Поскільки , , …, , , … то із збіжності ряду (див. ряд (5) в 1.) за ознакою порівняння випливає збіжність ряду , приписавши в останньому ряді спереду доданок 1, отримаємо початковий ряд , який збігається. 2. Поскільки а праві частини цих нерівностей є членами гармонічного ряду , який розбігається, то за ознакою порівняння ряд теж розбігається. 3. Із нерівності і збіжності отримуємо збіжність ряду . 4. Аналогічно попередньому маємо , якщо . Отже, ряд теж збіжний при . В більшості випадків зручнішою може бути гранична ознака порівняння, яку подаємо без доведення. Теорема(гранична ознака порівняння). Нехай задані ряди (1) і (2) . Якщо існує скінчена границя відношення загальних членів, відмінна від 0, тобто , то обидва ряди ведуть себе однаково, тобто або одночасно збігаються або одночасно розбігаються. Приклади. Дослідити збіжність ряду. 1. . 2. . Розв’язання. 1. З теорії границь відомо, що при многочлен веде себе так, як його найстарший доданок, тобто при . Тому , а . Візьмемо , а . Розглянемо . Відповідно теоремі обидва ряди і збіжні, бо збіжність другого ряду вже доведена. 2. Поскільки при , а , то . Тому знаходимо границю . Ряд - є гармонічним, розбіжним, тому розбіжним є і даний ряд. 20. Ознака Даламбера Теорема(Даламбера). Нехай для ряду існує границя відношення (n+1)–го члена до n-го члена, тобто . Тоді: 1) якщо , то ряд збігається; 2) якщо , то ряд розбігається; 3) якщо ж , то питання збіжності залишається не вирішеним. Приклади. Дослідити на збіжність ряди.
Розв’язання. 1. Згідно з ознакою Даламбера знаходимо ; , . Поскільки , то ряд збіжний. Нагадаємо, що цей ряд входив до розкладу числа е, . (див. ряд (8) в першому параграфі). 2. , тому . Ряд збіжний. 3. . Тому - ряд розбіжний. 30. Ознака Коші (радикальна) Теорема (Коші, радикальна). Нехай для ряду існує границя кореня n-го степеня із загального члена, тобто . Тоді: 1) якщо , то ряд збігається; 2) якщо , то ряд розбігається; 3) якщо ж , то питання збіжності залишається не вирішеним. Приклади. Дослідити на збіжність ряди. 1. . 2. . Розв’язання. 1.
, ряд збіжний. 2. , ряд збіжний. 40. Інтегральна ознака Коші Теорема (Коші, інтегральна). Нехай дано ряд , члени якого не зростають, тобто , і існує незростаюча неперервна на функція така, що , то ряд і невласний інтеграл одночасно або збігаються або розбігаються. Доведення теореми базується на порівнянні площі криволінійної трапеції Рис.1 Рис.2
і ступінчатих фігур (див. рис.1 і рис.2) Із рис.2 маємо нерівність . А із рис.1 нерівність протилежного характеру , звідки отримуємо . З лівої нерівності маємо, що із існування границі , тобто, із збіжності ряду випливає існування границі - - збіжність невласного інтеграла. Аналогічно права нерівність стверджує, що із збіжності невласного інтеграла випливає збіжність ряду. Подібні міркування застосовуються на випадок розбіжності. Приклад. Дослідити збіжність рядів. 1. - узагальнений гармонічний ряд. 2. .
Розв’язання. 1. Для знаходження функції замінимо у формулі загального члена дискретну змінну n неперервною змінною x, отримаємо . Нехай , отримаємо гармонічний ряд, , - інтеграл розбіжний, отже, і ряд - розбіжний. Нехай . Тоді , - інтеграл збіжний, а отже, узагальнений гармонічний ряд - теж збіжний. Нехай . Тоді - інтеграл розбіжний. Узагальнений ряд при - розбіжний.
5. Методичні поради при досліджені додатних рядів При досліджені додатних рядів у деяких студентів виникають труднощі у виборі необхідної із викладених ознак. Так для застосування ознаки порівняння необхідно мати в розпорядженні певну множину уже досліджених рядів, щоб було з чим порівнювати. Таку множину можна утворити і поповнювати користуючись ознаками Даламбера, Коші (радикальною), інтегральною. При цьому рекомендується керуватись таким:
Ці поради носять орієнтовний характер, тому що не всі ряди можна дослідити за допомогою вказаних ознак. Відомі більш витончені ознаки збіжності рядів.
Приклади для самостійного розв’язання Дослідити на збіжність ряди
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|