Здавалка
Главная | Обратная связь

Интегральное исчисление. Применение в экономике

Функции нескольких переменных

Задача 14

Затраты фирмы по выпуску х1 изделий первого вида составляют ден. ед., а по выпуску х2 изделий второго вида – ден. ед.

Составить функцию общих затрат на производство всех изделий. Записать уравнение линий уровня этой функции, построить две линии уровня и указать их экономический смысл.

14.1. 14.2.
14.3. 14.5. f ( x1) = x1 + 4, g( x2) = 14.7. f ( x1) = +4x1, g( x2) = 4x2 14.9. f ( x1) = + 2, g( x2) = +2x2 14.11 14.13. 14.15. 14.4. 14.6. f ( x1) = 4x1 + , g( x2) = 14.8. f ( x1) = 4x1, g( x2) = +2x2 14.10. f ( x1) = 2 +4, g( x2) = 4 14.12 14.14. 14.16.

Задача 15

Проверить, удовлетворяет ли заданная функция указанному уравнению.

15. 1

15. 2

15. 3 ;

15. 4

15. 5

15. 6

15. 7

15. 8

15. 9

15. 10

Проверить выполнение равенства для заданной функции .

15.11. 15.12.

15.13. 15.14.

15.15. 15.16.

15.17. 15.18.

15.19. 15.20. .

Задача 16

Задана функция Z = f(x, y), точка М0 (х0, у0) и вектор ā= aх i+ ау j. Требуется:

1)Вычислить производную функции в точке М0 в направлении вектора ā, указать смысл полученного результата.

2) Найти градиент функции в точке М0 и наибольшую скорость возрастания функции. Построить градиент.

16.1. U = x2+ y2 2x + 4y, M (2,1), =2 - ,

16.2. U = x2+ y2 + 4x + 2y,M (1,1), =3 +2 ,

16. 3. U = x2 + y2+ 2x – 2y, M (1,1), =5 –12 ,

16.4. U = x2 + y2 + 2x – 4y, M (1,3), = + 2 ,

16.5. U = x2 + y22x – 4y, M (3,1), = – + ,

16.6. U = x2 + y2 4x – 2y, M (2,0), = 5 + 12 ,

16.7. U = x2 + y2 4x – 2y, M (2,-2), =5 -12 ,

16.8. U = x2 + y2 +2x + 4y, M (1,1), =2 - ,

16.9. U = x2 + y2 +2x – 2y, M (1,-1), =- -2 ,

16.10. U = x2 + y2 + 2x+ 2y, M (3,5), = - ,

16.11. U = x2 + y2 2x + 2y, M (1,1), =2 ,

16.12. U = x2 + y2 +2x + 4y, M (2,1), =3 -4 ,

16.13. U = x2 + y2 2x – 2y, M (1,1), =3 -2 ,

16.14. U = x2 + y2 +2x – 4y, M (-1,1), = -12 ,

16.15. U = x2 + y2 +2x – 2y, M (1,3), =-5i+12 ,

16.16. U = x2 + y2 + 4x + 2y, M (2,3), =4 -3 ,

16.17. U = x2 + y2 2x – 4y, M (1,2), =5 -12 ,

16.18. U = x2 + y2 4x – 2y, M (1,3), =2 - ,

16.19. U = x2 + y2 2x + 4y, M (-1,2), =4 -3 ,

16.20. U = x2 + y2 + 2x + 2y, M (1,1), =2 + .

Задача 17

Найти наименьшее и наибольшее значения линейной функции Z=C1х+C2у+C0 в области решений системы линейных неравенств.

17.1 17.2 17. 3

 

17.4 17.5 17.6

 

17.7 17.8 17.9

 

17.10 17.11 17.12

 

17.13 17.14 17.15

 

17.16 17.17 17.18

 

17.19 17.20

 

Задача 18

18.1. Затраты фирмы по выпуску х изделий первого вида составляют ден. ед., а по выпуску изделий второго вида ден. ед.

1) Составьте функцию общих затрат на производство всех изделий и вычислите затраты фирмы по выпуску двух изделий первого вида и одного изделия второго вида.

2) Вычислите эластичности затрат по каждому виду изделий, если , и дайте им экономическое истолкование.

18.2. Производственная деятельность фирмы описывается функцией Кобба-Дугласа , где - величина выпуска продукции, - число единиц оборудования (капитал) и - численность работающих (труд).

1) Составьте функцию издержек фирмы, если стоимость ед. фактора равна 4 ден. ед., а стоимость ед. фактора равна 1 ден. ед.

2) Решите задачу определения максимального выпуска продукции, который может обеспечить фирма, полностью истратив все средства ден. ед.

18.3.Предприятие работает по первой технологии часов и по второй часов, выпуская за час работы по каждой технологии продукцию стоимостью ден. ед. и ден. ед. Производственные расходы за 1 час работы составляют ден. ед. и ден. ед.

1) Составьте функции дохода, общих расходов, прибыли и вычислите прибыль фирмы за время работы по первой технологии 2 часа, а по второй 1 час.

2) Вычислите эластичности функции прибыли по каждой технологии за время работы по первой технологии 2 часа, а по второй 1 час и дайте им экономическое истолкование.

18.4.Производственная деятельность фирмы описывается функцией Кобба-Дугласа , где - величина выпуска продукции, - число единиц оборудования (капитал) и - численность работающих (труд).

1) Составьте функцию издержек фирмы, если стоимость единицы равна 1 ден. ед., а стоимость единицы равна 2 ден. ед.

2) Определите наименьшие издержки при выпуске количества продукции .

18.5.Производственная деятельность фирмы описывается функцией Кобба-Дугласа , где - величина выпуска продукции, - число единиц оборудования (капитал) и - численность работающих (труд).

1) Составьте функцию издержек фирмы, если стоимость единицы равна 2 ден. ед., а стоимость единицы равна 4 ден. ед.

2) Найдите максимальный выпуск продукции, который может обеспечить фирма, полностью истратив все имеющиеся средства 60 ден. ед.

18.6.Дана производственная функция фирмы , где , - объемы используемых ресурсов. Известны рыночные цены продукции и ресурсов: , , .

1) Составьте функции дохода , издержек и прибыли и вычислите прибыль фирмы при использовании 2 ед. первого ресурса и 3 ед. второго ресурса.

2) Вычислите эластичности прибыли по каждому виду ресурсов при , и дайте им экономическое истолкование.

18.7.Производственная деятельность фирмы описывается функцией Кобба-Дугласа , где - величина выпуска продукции, - число единиц оборудования (капитал) и - численность работающих (труд).

1) Составьте функцию издержек фирмы, если стоимость единицы равна 4 ден. ед., а стоимость единицы равна 4 ден. ед.

2) Определите наименьшие издержки при выпуске 30 единиц продукции.

18.8.Дана производственная функция фирмы , где , - объемы используемых ресурсов. Известны рыночные цены продукции и ресурсов: , , .

1) Составьте функции дохода , издержек и прибыли и вычислите прибыль при использовании 3 ед. первого ресурса и 2 ед. второго ресурса.

2) Вычислите эластичности прибыли по каждому виду ресурсов при , и дайте им экономическое истолкование.

18.9.Производственная деятельность фирмы описывается функцией Кобба-Дугласа , где - величина выпуска продукции, - число единиц оборудования (капитал) и - численность работающих (труд).

1) Составьте функцию издержек фирмы, если стоимость единицы равна 1 ден. ед., а стоимость единицы равна 4 ден. ед.

2) Определите максимальный выпуск продукции, который может обеспечить фирма, полностью истратив все имеющиеся средства ден. ед.

18.10.Пусть - производственная функция фирмы, связывающая ресурсы (капитал , труд ) и выпуск продукции .

1) Сколько единиц продукции выпускает фирма при технологическом способе производства = 10, = 40?

2) Найдите эластичности производственной функции при K=5, L=10 и дайте им экономическое истолкование.

18.11.Производственная деятельность фирмы описывается функцией Кобба-Дугласа , где - величина выпуска продукции, - число единиц оборудования (капитал) и - численность работающих (труд).

1) Составьте функцию издержек фирмы, если стоимость единицы фактора равна 3 ден. ед., а стоимость единицы фактора равна 3 ден. ед.

2) Найдите максимальный выпуск продукции, который может обеспечить фирма, полностью истратив все имеющиеся средства 50 ден. ед.

18.12. Затраты на единицу продукции и составляют и ден. ед.

1) Составьте функцию издержек , где , - объемы продукции и .

2) Найдите эластичности издержек по каждому виду продукции при , дайте результатам экономическое истолкование.

18.13. Производственная деятельность фирмы описывается функцией Кобба-Дугласа , где - величина выпуска продукции, - число единиц оборудования (капитал) и - численность работающих (труд).

Составьте функцию издержек фирмы, если стоимость ед. фактора равна 1 ден. ед., а стоимость ед. фактора равна 2 ден. ед.

2) Определите наименьшие издержки при выпуске количества продукции .

18.14. Общие издержки производства заданы функцией

,

где и - количество товаров и соответственно. Общее количество произведенной продукции должно быть равно 500 ед.

1) Сколько единиц товара и нужно производить, чтобы издержки на их изготовление были наименьшими?

18.15. Производственная деятельность фирмы описывается функцией Кобба-Дугласа , где - величина выпуска продукции, - число единиц оборудования (капитал) и - численность работающих (труд).

1) Составьте функцию издержек фирмы, если стоимость единицы равна 1 ден. ед., а единицы фактора равна 2 ден. ед.

2) Определите наименьшие издержки при выпуске количества продукции .

18.16. Определить минимальную себестоимость продукции, если производственная функция себестоимости от факторов производства и определяется моделью , а ограничение на факторы и имеет вид .

18.17. Производственная деятельность фирмы описывается функцией Кобба-Дугласа , где - величина выпуска продукции, - число единиц оборудования (капитал) и - численность работающих (труд).

1) Составьте функцию издержек фирмы, если стоимость ед. фактора равна 4 ден. ед., а стоимость ед. фактора равна 2 ден. ед.

2) Решите задачу определения максимального выпуска продукции, который может обеспечить фирма, полностью истратив все средства ден. ед.

18.18.Фирма выпускает продукцию двух видов, при этом затраты составляют ден. ед. на изготовление ед. продукции и ден. ед. на изготовление ед. продукции . Рыночная цена единицы продукции равна соответственно и ден. ед.

1) Составьте функции дохода, издержек и прибыли.

2) Вычислите прибыль и эластичности прибыли по каждому виду продукции при изготовлении 1 единицы и 2 единиц , дайте им экономическое истолкование.

18.19.Производственная деятельность фирмы описывается функцией Кобба-Дугласа , где - величина выпуска продукции, - число единиц оборудования (капитал) и - численность работающих (труд).

1) Составьте функцию издержек фирмы, если стоимость единицы равна 2 ден. ед., а единицы фактора равна 1 ден. ед.

2) Определите наименьшие издержки при выпуске количества продукции .

 

18.20.Производственная деятельность фирмы описывается функцией Кобба-Дугласа , где - величина выпуска продукции, - число единиц оборудования (капитал) и - численность работающих (труд).

1) Составьте функцию издержек фирмы, если стоимость ед. фактора равна 2 ден. ед., а стоимость ед. фактора равна 4 ден. ед.

2) Найдите максимальный выпуск продукции, который может обеспечить фирма, полностью истратив все имеющиеся средства 60 ден. ед.

Интегральное исчисление. Применение в экономике

Задача 19 Вычислить интегралы:

19.1 а) ;б) ;

в) ; г) ;

19.2 а) ; б) ;

в) ; г) ;

19.3 а) ; б) ;

в) ; г) ;

19.4 а) ; б) ;

в) ; г) ;

19.5 а) ; б) ;

в) ; г) ;

19.6 а) ; б) ;

в) ; г) ;

19.7 а) ; б) ;

в) ; г) ;

19.8 а) ; б) ;

в) ; г) ;

19.9 а) ; б) ;

в) ; г) ;

19.10 а) ; б) ;

в) ; г) ;

 

19.11 а) ; б) ;

в) ; г) ;

19.12 а) ; б) ;

в) ; г)

 

19.13. а) б)

в) ; г) ;

19.14. а) ; б) ;

в) ; г) ;

19.15 а) ; б) ;

в) ; г) ;

19.16 а) ; б) ;

в) ; г) ;

19.17 а) ; б) ;

в) ; г) ;

19.18 а) ; б) ;

в) ; г) ;

19.19 а) ; б) ;

в) ; г) ;

19.20 а) ; б) ;

в) ; г) .

 

Задача 20

 

20.1. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями , , .

20.2. Вычислить площадь фигуры, расположенной в верхней полуплоскости и ограниченной линиями:

20.3. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями:

20.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

20.5. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, расположенной в первой четверти и ограниченной линиями:

20.6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

20.7. Криволинейная трапеция, ограниченная линиями: вращается вокруг оси абсцисс. Вычислить объем тела, которое при этом образуется.

20.8 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: и лежащей между любыми двумя точками пересечения этих кривых.

20.9 Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

20.10Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

20.11Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями , .

20.12 Вычислить площадь фигуры, расположенной в верхней полуплоскости и ограниченной линиями: .

20.13. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями: ; .

20.14 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

20.15. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, расположенной в первой четверти и ограниченной линиями:

.

20.16. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

20.17. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями:

20.18. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями:

20.19. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .

20.20. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

 

Задача 21

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

21.1. . 21.2. .

21.3 . 21.4. .

21.5 . 21.6. .

21.7 . 21.8. .

21.9. . 21.10. .

21.11. . 21.12. .

21.3. . 21.14. .

21.15. . 21.16. .

21.17. . 21.18. .

21.19. . 21.20. .

 

Задача 22

Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения:

22.1 а) , 22.2 а) ,

б) у¢¢ – 5у¢ = 30х – 11 б) y¢¢ + 4y¢ +4y = 6e2x

22.3 а) , 22.4 а) ,

б) y¢¢+ y = 2+2x. б) y¢¢ – y¢ = 2 –2x.

22.5 а) , 22.6 а) ,

б) у¢¢ –4у¢+ 4у = . б) y¢¢ –8y¢ = 1+4x.

22.7 а) , 22.8 а) ,

б) y¢¢+4y¢ –5y = 1. б) y¢¢– 6y¢ +9y = .

22.9 а) , 22.10 а) ,

б) y¢¢– 4= 2–x. б) y¢¢ + y¢= 4х.

22.11 а) , 22.12 а) ,

б) у¢¢ + 4у¢ + 4у = 3е2х б) y¢¢ +y = 3 + 2x.

22.13 а) , 22.14 а) ,

б) у¢¢ – 5у¢ = 7. б) у¢¢ – 4у¢ + 4у = 5е–2х.

22.15 а) , 22.16 а) ,

б) y¢¢ + 4y = 8x + 1. б) y¢¢+2y¢+y = 3x +1.

22.17 а) , 22.18а) ,

б) y¢¢ + y = x+1, б) y¢¢– 5y¢+4y = х+4.

22.19 а) , 22.20 а) ,

б) у¢¢ + 4у = 3х – 2. б) y¢¢ + y = ex.

 

Задача 23

Исследовать на сходимость числовой ряд:

23.1 23.2

23.3 23.4

23.5 23.6

23.7 23.8

23.9 23.10

23.11 23.12

23.13 23.14

23.15 23.16

23.17 23.18

23.19 23.20

Задача 24

 

Найти область сходимости степенного ряда:

24.1 24.2

24.3 24.4

24.5 24.6

24.7 24.8

24.9 24.10 ;

 

24.11 ; 24.12 ;

 

24.13 ; 24.14 ;

 

24.15 ; 24.16 ;

 

24.17 ; 24.18 ;

 

24.19 ; 24.20 .

 

Задача 25

Варианты 1-10 Найти выражение для объёма реализованной продукции , если известно, что кривая спроса задаётся уравнением , норма акселерации , норма инвестиций , - начальное значение объема реализованной продукции.

вариант
p=3-2y 0,4
p=4-y 0,6
p=(2/y)+3 0,5
p=5-y



©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.