 |
|
Вывод: Исследуемый ряд сходится абсолютно.
Правда, при втором способе решения есть риск, что преподаватель оценит хитро… смекалку студента и забракует задание. А может и не забракует.
И напоследок пара примеров для самостоятельного решения. Один из той же оперы (перечитайте справку), но попроще. Другой для гурманов – на закрепление интегрального признака сходимости.
Пример 9
Исследовать ряд на сходимость 
Пример 10
Исследовать ряд на сходимость 
После качественной проработки числовых положительных и знакопеременных рядов с чистой совестью можно перейти к функциональным рядам, которые не менее монотонны и однообразны интересны.
Желаю успехов!
Используем признак Лейбница:
1) 
Данный ряд является знакочередующимся.
2)
Члены ряда не убывают по модулю.
Вывод: Ряд расходится.
Примечание: В данном примере неопределенность 
устраняется стандартным способом: делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени. Старшая степень числителя: 1, старшая степень знаменателя: 
Пример 5: Используем признак Лейбница.
1) 
Ряд является знакочередующимся.
2) 
– члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: 
, значит, убывание монотонно.
Ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом 
. Используем предельный признак сравнения:
– конечное число, отличное от нуля, значит, ряд 
расходится вместе с гармоническим рядом.
Исследуемый ряд сходится только условно.
Пример 7: Используем признак Лейбница.
1) 
Ряд является знакочередующимся.
2) 
– члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно.
Ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
Используем признак Даламбера:
Таким образом, ряд сходится.
Исследуемый ряд сходится абсолютно.
Примечание: Возможно, не всем понятно, как разложены факториалы. Это всегда можно установить опытным путём, возьмём и сравним какие-нибудь соседние члены ряда:
и 
, следующий член ряда к предыдущему: 
и 
, следующий член ряда к предыдущему: 
…
Пример 9: Используем признак Лейбница.
1) 
Ряд является знакочередующимся.
2) 
– так как 
более высокого порядка роста, чем 
Члены ряда убывают по модулю, начиная с некоторого номера 
, при этом, каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, таким образом, убывание монотонно.
Вывод: Ряд сходится.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
Используем признак Даламбера:
Таким образом, ряд – сходится.
Исследуемый ряд сходится абсолютно.
Пример 10: Используем признак Лейбница.
1) 
Ряд является знакочередующимся.
2) 
– члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно.
Ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
Используем интегральный признак.
Подынтегральная функция непрерывна на 
.
Таким образом, ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.
Исследуемый ряд сходится только условно.